正态性检验方法汇总

本文主要是介绍正态性检验方法汇总，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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该篇文章主要介绍了统计检验中正态性检验的常用方法理论，包括图示法、偏度/峰度检验法、非参数检验方法，同时附相关R语言程序进行正态性检验的常用函数。

1 图示法

   ①P-P图

   以样本的累计频率作为横坐标，以按照正态分布计算的相应累计概率纵坐标，以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

   ②Q-Q图

   以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

​    ③直方图

   判断样本直方图是否以钟型分布，同时可以选择输出正态性曲线。

   ④箱线图

   通过观察矩形位置和中位数，若矩形位于中间位置，且中位数位于矩形的中间位置，则分布较为均匀，否则是偏态数据。

   ⑤茎叶图

   通过观察图形的分布状态，是否对称分布。

2 偏度、峰度检验法

  ①偏度、峰度系数分布性质

  样本k阶中心距：

$$b_k=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^k$$

  样本偏度系数：

$$r_1=\frac{b_3}{b_2^{\frac{2}{3}}}$$

  该系数用于检验样本对称性，当$r_1=0$时，分布是对称的；当$r_1>0$时，呈正偏态；当$r_1<0$时，呈负偏态。

  样本峰度系数：

$$r_1=\frac{b_4}{b_2^2}-3$$

  该系数用于检验样本峰态，当$r_2=0$时，分布是正态分布；当$r_2>0$时，呈尖峰分布；当$r_2<0$时，呈扁平分布。

  考虑原假设$H_0:F(x)$服从正态分布：备择假设$H_1:F(x)$不服从正态分布。

  当原假设为真时，检验统计量：

$\frac{r_1}{\sqrt{\frac{6}{n}}}\sim N(0,1)$；$\frac{r_2}{\sqrt{\frac{24}{n}}}\sim N(0,1)$

  在显著性水平为$\alpha$时，若满足$|\frac{r_1}{\sqrt{6/n}}|>Z_{1-\alpha /2}$或$|\frac{r_2}{\sqrt{24/n}}|>Z_{1-\alpha /2}$，则拒绝原假设。

  ②偏度、峰度联合分布检验法（Jarque-Bera检验）

  检验统计量：

$$JB=\frac{r_1^2}{6/n}+\frac{(r_2-3)}{24/n}\sim \chi (2)$$

  当JB统计量的P值小于显著性水平$\alpha$时，则拒绝正态性分布的原假设。

3 非参数检验方法

  ①Kolmogorov-Smirnor检验（KS）

  KS检验基于经验分布函数，该检验用大样本近似。该检验方法为比较一个频率分布f(x)与理论分布g(x)或者两个观测值分布的检验方法。其原假设$H_0$两个数据分布一致或者数据符合理论分布。统计量：

$$D_n=\underset{x}{\sup }|F_n(x)-F(x)|$$

  当实际观测值$D_n>D(n,\alpha )$则拒绝$H_0$，否则则接受$H_0$假设。

  需要注意的是样本数据如果有结点（及是重复的数据），则无法计算准确的P值。

  ②Lilliefors检验(K-S检验的修正)

  当总体均值和方差未知时，用样本的均值和方差代替后，再用K-S检验法。

$$原假设H_0:F(x)服从正态分布;备择假设H1：F(x)不服从正态分布。$$

  ③Shapiro-Wilk检验（Shapiro）

  W 检验全称 Shapiro-Wilk 检验，是一种基于相关性的算法。计算可得到一个相关系数，它越接近 1 就越表明数据和正态分布拟合得越好。

  W检验统计量：

$$W=\frac{({\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

  其中$x_{(x_1)}<x_{(x_2)<\dots ＜x_{(}n)}$

$(a_1,a_2,\dots ,a_n)=\frac{m^T{V}^{-1}}{(m^T{V}^{-1}{V}^{-1}{m}^T{)}^{\frac{1}{2}}}$;

$m=(m_1,m_2,\dots ,m_n)$是样本顺序统计量的样本均值，V是样本。

  若$W>W_{\alpha }$，则接受正态性假设。

  ④ ${\chi }^2$拟合优度检验

  检验统计量：

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(f_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}\sim {\chi }^2(k-1)$$

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(f_i-n\widehat{p_i}{)}^2}{n\widehat{p_i}}\sim {\chi }^2(k-r-1)$$

  若r为被待估参数。

  若服从正态分布，${\chi }^2$应较小，其中p值大于显著性水平$\alpha$时，拒绝原假设。

  ⑤达戈斯提诺(D′Agostino)法

  即D检验,1971提出,正态性D检验该方法效率高，是比较精确的正态检验法。

  ⑥AD检验

  ⑦CVM检验

4 主要R包及代码

  ①ks.test()

  例如零假设为N（15,0.2），则ks.test(x,“pnorm”,15,0.2)。如果不是正态分布，还可以选"pexp", "pgamma"等。
   ②shapiro.test()

  可以进行关于正态分布的Shapiro-Wilk检验。
  ③nortest包

lillie.test()可以实行更精确的Kolmogorov-Smirnov检验。
ad.test()进行Anderson-Darling正态性检验。
cvm.test()进行Cramer-von Mises正态性检验。
pearson.test()进行Pearson卡方正态性检验。
sf.test()进行Shapiro-Francia正态性检验。

  ④fBasics包

normalTest()进行Kolmogorov-Smirnov正态性检验。
ksnormTest()进行Kolmogorov-Smirnov正态性检验。
shapiroTest()进行Shapiro-Wilk's正态检验。
jarqueberaTest()进行jarque-Bera正态性检验。
dagoTest进行D'Agostino正态性检验。
gofnorm采用13种方法进行检验，并输出结果。

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