【格与代数系统】偏序关系、偏序集与全序集

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关系：X,Y是两个非空集合, 记 $X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}.$ 若 $R\subseteq X\times Y,$ 则称R是X到Y的一个二元关系，简称关系。

若 $(x,y)\in R$ ,记 $xRy$ 。

当 $R\subseteq X\times X$ 时，称 $R$ 是 $X$ 上的一个关系。

偏序关系

偏序集

可比性

全序集

最值与上下界

上下确界

偏序关系

设 $R$ 是 $X$ 上的一个关系，若 $R$ 满足：

(1)自反性：对任意的 $x\in X$ ,有 $(x,x)\in R$ ；

(2)反对称性：若 $(x,y)\in R,(y,x)\in R$ ,则 $x=y$ ；

(3)传递性：若 $(x,y)\in R,(y,z)\in R$ , 则 $(x,z)\in R$ ；

则称 $R$ 是 $X$ 上的一个偏序关系。

例： $\left \{ {8,4,2,1} \right \}$ 中，小于或等于关系，即满足偏序关系，可以有关系矩阵

偏序集

一般用符号 $\leq$ 来表示偏序关系，从而，称 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集。

偏序关系 $\rightarrow$ 偏序集

可比性

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集，对任意 $x, y\in X$ ，若 $x\leqslant y$ 与 $y\leqslant x$ 至少有一个成立，则称 $x$ 与 $y$ 可比；反之，若 $x\leqslant y$ 与 $y\leqslant x$ 都不成立，则称 $x$ 与 $y$ 不可比；

若 $x\leqslant y$ 且 $x\neq y$ ,则记 $x< y$

全序集

若对任意的 $x, y\in X$ ,都有 $x$ 与 $y$ 可比，则称 $\leq$ 是一个线性序或全序。并称 $(X,\leqslant)$ 是一个线性序集或全序集。

一个线性序集也称为一条链，偏序集的线性序的子集 (在原偏序关系下) 构成一条链。

偏序集+可比性 $\rightarrow$ 全序集

最值与上下界

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集.

若存在 $u\in X$ ,使得对任意的 $x\in X$ ,有 $x\leqslant u$ ,则称 $u$ 是 $(X,\leqslant)$ 的最大元；

若存在 $l\in X$ , 使得对任意的 $x\in X$ , 有 $l\leqslant x$ ,则称 $l$ 是 $(X,\leqslant)$ 的最小元。

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集， $A\subseteq X$ .

若存在 $\alpha\in X$ ,对任意的 $x\in A$ , 有 $x\leqslant \alpha,$ 则称 $\alpha$ 是 $A$ 的一个上界；

若存在 $\beta\in X$ ,对任意的 $x\in A$ ,有 $\beta\leqslant x$ ,则称 $\beta$ 是 $A$ 的一个下界。

上下确界

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集， $A\subseteq X$ .

若 $\alpha$ 是 $A$ 的一个上界，且对 $A$ 的任意上界 $u$ ,都有 $\alpha\leqslant u$ ,则称 $\alpha$ 是 $A$ 的最小上界或上确界，记 $\alpha=\sup\{x|x\in A\};$

若 $\beta$ 是 $A$ 的一个下界，且对 $A$ 的任意下界 $l$ ,都有 $\beta \geq l$ , 则称 $\beta$ 是 $A$ 的最大下界或下确界，记 $\beta=\inf\{x|x\in A\}$ 。

若 $A$ 的上、下确界存在，则记:

$\bigvee A=\bigvee\{x|x\in A\}=\sup A=\sup\{x|x\in A\},$

$\bigwedge A=\bigwedge\{x|x\in A\}=\operatorname*{inf}A=\operatorname*{inf}\{x|x\in A\}.$

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