良序原理(well-ordering)

良序原理(well-ordering)

• 自然数集的每个非空子集都有个最小元素，即自然数在其标准的大小关系下构成一良序集
• 在公理集合论中，自然数集定义为最小的归纳集合（包含0且包含本身中每个元素的后继的集合），可以证明，所有满足{0,...,n}为良序集的n组成的集合是一个归纳集合，从而是自然数集本身。由此可以推出自然数集本身也是个良序集。
• 良序定理是选择公理的等价形式之一
  • 其内容为：对任何集合S，存在S上的二元关系R，使得<S，R>是良序集
• 意义
  • 良序原理的意义主要在于，在证明时可以使用所谓的“最小反例法”，它相当于反证法和数学归纳法的结合。
• 一般描述：设"<"是集合S上的一个关系，它满足以下性质：
  1. 给定S中的x,y,和z,如果 x<y 和 y<z,则 x<z;
  2. 给定S中的x和y，以下三种可能中恰有一种为真：
     1. x<y