计算机视觉——参数矩阵与八点法的运用

1基础矩阵

1.1原理

对于一幅图像上的点x（图上p1），在另一幅图像上存在对极线l’，并且在第二幅图像上，与x匹配的点x’（点p2）必然在l’上。为了表示x与l’关系，我们令基础矩阵F定义为： l′=Fx。

假设第一幅图到第二幅图之间存在单应性变换H，则 x′=Hx。

又因为l’是表示过对极点e2和图像点x’的直线，可以表示为： l′=e2×x′=[e2]xx′=[e2]xHx。

所以可得 F=[e2]xH。

1.2.基础矩阵性质

（1） 基础矩阵是秩为2、自由度为7的齐次矩阵。
（2）若x与x’是两幅图上的对应点，那么x′TFx=0。
（3）l’是对应于x的对极线，l′=Fx。
（4）若e是第二个摄像机光心在第一幅图像上的极点，那么Fe=0 。

1.3计算F：八点法

八点法是通过对应点来计算基础矩阵的算法。

八点算法的原理：
由于基础矩阵F 定义为：

任给两幅图像中的匹配点 x xx 与 x′ x’x
令$$x=(u,v,1)T，x’=(u’,v’,1{)}^T$$
基础矩阵F是一个3×3的秩为2的矩阵，一般记基础矩阵F为：

有相应方程：

1.4八点算法的基本步骤

（1）求线性解 由系数矩阵A AA最小奇异值对应的奇异矢量f 求的F 。
（2）奇异性约束 是最小化Frobenius范数∥F−F’∥的F′ 代替F

1.5八点算法优缺点

八点算法的优点：
线性求解，容易实现，运行速度快 。
八点算法的缺点：
对噪声敏感。

2.代码

2.1八点法

# coding: utf-8
from PIL import Image