普通型母函数和指数型母函数

本文主要是介绍普通型母函数和指数型母函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

母函数：摘自百度百科

生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式）

理解：

什么是普通母函数呢，——把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来，这句话可能一开始难以理解，不过其实学完了之后很容易理解，母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。

母函数分为：普通型母函数，指数型母函数。

普通型母函数主要是来求组合的方案数，而指数型母函数是求多重排列数。

普通母函数：

定义：

若函数G(x)=a0+a1*x+a2*x^2+……+an*x^n，则称函数G(x)为序列a0、a1、a2、……an的母函数。

例如：(1+x)^n=1+C(n,1)*x+C(n,2)*x^2+……+C(n,n)*x^n 就是序列 C(n,1)、C(n,2)、……、C(n,n)的母函数，其中C(n,m)为组合数。

经典例题：

有质量为1，2，4的砝码分别为1，3，2枚，问：

1.可以称出多少种不同的质量？

2.要称出质量为3的物品，有几种可能的方式?

则可以构造函数G(x) = (1+x)*(1+x^2+x^4+x^6)*(1+x^4+x^8)，其中第一个括号中的1表示质量为1的砝码用了0枚，x表示质量为1的砝码用了1枚；第二个括号中的1表示质量为2的砝码用了0枚，x^2为质量为2的砝码用了1枚，x^4表示质量为2的砝码用了2枚，也就是x^(2*2)，x^6表示质量为2的砝码用了3枚，也就是x^(2*3)。先不必理解为什么这样做，只需要知道怎样做。

总结一下，每个括号就表示一种砝码的使用情况。x^n就表示质量为n的砝码用了1枚。最少可以使用0枚，也就是式子里面的1。最多可以使用m枚，也就是x^(n*m)。

知道了对应关系，那么代码应该怎么写呢？其实也简单，就是模拟手动计算以上多项式相乘的过程。比如上面的

G(x) = (1+x)*(1+x^2+x^4+x^6)*(1+x^4+x^8)

= (1+x^2+x^4+x^6 + x+x^3+x^5+x^7)*(1+x^4+x^8)

= (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x^4+x^8)

= (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7 + x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11 + x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15)

=1+x+x^2+x^3+2*x^4+2*x^5+2*x^6+2*x^7+2*x^8+2*x^9+2*x^10+2*x^11+x^12+x^13+x^14+x^15

以上过程也就是不断的计算前 i 个多项式相乘的结果。最后得到的式子中 m*x^n 就表示可以有m种方式称出质量为n的物品。一共有x~x^15个不同的质量，也就是最多能称出15中不同质量的物品


#define MAXN 55int a[MAXN],b[MAXN];int s[MAXN],e[MAXN],v[MAXN];void mu(int n){ //n为因子个数 int i,j,k;memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;for(i=1;i<=n;i++){ //前i项相乘 memset(b,0,sizeof(b));//j为第i种物品可能的数量，j*v[i]即第i个括号中第j项的系数for(j=s[i];j<=e[i]&&j*v[i]<=MAXN;j++)for(k=0;k+j*v[i]<=MAXN;k++) //计算对前i-1项相乘的结果的第k项的系数产生的影响 b[k+j*v[i]]+=a[k];memcpy(a,b,sizeof(b)); //将b数组存回a数组 }	}

以上代码中MAXN为结果可能生成的x的指数的最大值。

a数组存储最终结果，b数组存储中间结果
s[i] （start数组）为第i个变量的最小个数，一般都为0，e[i] （end数组）为第i个变量的最大个数
v[i]表示第i个未知量的取值，即x^v[i]
a[i]存储的是未知量 x^i 前面的系数

也就是a存储前i-1项的相乘结果，然后遍历第i项中的每一个变量，让其与a中的每一项相乘，将结果临时存储到b数组中，最后存回a数组。

例如：求不同个数的不同质量的砝码可以组成的质量为 i 的种类数
v[i]存第i种砝码质量，s[i]存第i种砝码最小的个数，e[i]存第i种砝码最大的个数，a[i]存可以组成的质量为i的种类数、

指数函数：