基于视频的电熔镁炉工况识别系统→4.基于子空间角度的核函数→1.子空间角度...

《基于视频的电熔镁炉工况识别系统→4.基于子空间角度的核函数→1.子空间角度》

subspaceAnglesAR.m

input：sys1, sys2

output：theta n维

描述

代码

1. 一般来说，的q(p≥q)个主角定义为：
   1. 图
      1. 
   2. cosθ越大，θ越小，表明两个矩阵的距离越近

2. 求解的q(p≥q)个主角
   1. 图方差和协方差，总之可以反映A与B的关系
   2. 矩阵的维度是(p+q)*(p+q)的,计算特征值并进行排序
   3. 取前q大个特征值：

3. 自回归模型M₁和M₂的子空间主角定义：
   1. 两个自回归模型M₁、M₂可分别由模型参数A₁和C₁、A₂和C₂进行表征，它们的维度是∞*n的可观测矩阵如下：
      1. 图
      2. 则角度可定义为

4. 求解自回归模型M₁和M₂的子空间主角
   1. 求解和的方差和协方差，可构造离散的李雅普诺夫等式：
      1. 
      2. 令可求解
      3. x₁₁,x₁₂,x₂₁和x₂₂分别对应了,，和维度均是n*n

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A1 = sys1.A; C1 = sys1.C; A2 = sys2.A; C2 = sys2.C;n = size(A1,1); m = size(C1,1); Z = [A1 zeros(n); zeros(n) A2]; C = [C1 C2]; X = dlyap(Z',C'*C);%①X = DLYAP(A,Q) A*X*A' - X + Q = 0 ②分块矩阵的转秩

2. 求解自回归模型M₁和M₂的子空间主角
   1. 
   2. 可变换为求的特征值
   3. 矩阵的维度是2n*2n，计算特征值并进行排序
   4. 则取前n个

1 2 3 4 5 6 7

E = eig([zeros(n) pinv(X(1:n,1:n))*X(1:n,n+1:2*n);...%eigenvaluespinv(X(n+1:2*n,n+1:2*n))*X(n+1:2*n,1:n) zeros(n)]); E = real(E); E = max(-ones(size(E)),E);%保证cos(theta)的值域是[-1,1], E = min(ones(size(E)),E); E = sort(E,'descend'); theta = acos(E(1:n));

解出的theta∈[0,90°]

Show 拓展

• 线性系统的可控性和可观测性：

1. 1. 给定系统的动态方程为：
   2. 将其表示为标量方程组的形式
   3. 可控就是状态可以转移到任何状态：取值不同的u，可以解出不同的x₁和x₂，因此能选择控制量u使状态初始点到原点，所以系统完全可控
   4. 可观就是每个时刻的状态都可以被观测到：y只能反映状态变量x₂，因此系统是不完全观测的
   5. 可控性判据：的rank=2，因此可控
   6. 可观性判据：的rank=1，因此不可观

• 李雅普诺夫稳定

1. 1. 稳定是系统任何初始条件在平衡点a附近的轨迹均能维持在a附近；渐进稳定是初始条件在平衡点a附近的轨迹均能趋近于a
   2. 李雅普诺夫稳定性第二定理
      1. ，则系统为渐进稳定
      2.     =*
   3. 李雅普诺夫函数
      1. 对于
      2. 选取，则
      3. 要求系统是渐进稳定的，需满足李雅普诺夫不等式
      4. 等价于李雅普诺夫方程，Q是任意正定实对称矩阵
      5. 常取Q=I (单位阵)
      6. 在李雅普诺夫方程中只有一个转秩是A转秩