泰勒展开的理解，以及在使用泰勒公式进行估算时，在不同点展开的区别和意义是啥?

本文主要是介绍泰勒展开的理解，以及在使用泰勒公式进行估算时，在不同点展开的区别和意义是啥?，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

泰勒展开：用多项式函数（或称为幂级数）来拟合一个无限可导的复杂函数，使该复杂函数能以简单的方式计算。

泰勒展开面临一个问题，要在某一个点的位置展开，即上面提到的 $a$ 。展开点的意义是什么？如何选择合适的展开点呢？

展开点的含义是什么呢？

泰勒级数展开是用一个多项式函数来拟合一个复杂函数，但只能拟合这个复杂函数的局部区域，超过这个区域的拟合误差会很大。该局部区域在什么位置呢？没错，就是在展开点的位置。从展开点的位置出发，泰勒展开的级数越多，多项式拟合的半径越大。下图是 $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ 的函数曲线（蓝色）以及在点 $a$ 处的展开的泰勒级数的函数曲线。可见，泰勒级数只能拟合复杂函数的局部区域，该局部区域以展开点为中心。图引用自：https://www.zhihu.com/question/23224838

如何选择合适的展开点呢？

首先，该展开点距离要计算的数值越近越好，因为距离展开点越近的地方，泰勒级数拟合的越准确，需要的泰勒展开的级数也更低。

其次：该展开点应该便于在泰勒级数展开式上计算。

例子：如，在选择 $30^{\frac{1}{3}}$ 的泰勒级数展开点时，明显不适合在 $a=30$ 的位置展开，因为泰勒展开在 $a=30$ 处展开后仍旧需要计算 $30^{\frac{1}{3}}$ ，这不是我们想要的。当然， $a=29$ 也不合适，因为 $29^{\frac{1}{3}}$ 也不好计算。我们可以选择在 $a=27$ 或 $a=1$ 的位置展开，因为 $27^{\frac{1}{3}}$ 和 $1^{\frac{1}{3}}$ 都好计算。而 $a=27$ 与 $a=1$ 相比， $a=27$ 又更好一些，因为27距离30更近，泰勒级数可以拟合的更准确，需要的泰勒展开级数也越小。

参考：使用泰勒公式进行估算时，在不同点展开的区别和意义是啥?

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