bzoj1188分裂游戏——博弈论、SG函数

本文主要是介绍bzoj1188分裂游戏——博弈论、SG函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Description

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。该游戏的规则试：共有n个瓶子，标号为0,1,2…..n-1,第i个瓶子中装有p[i]颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择3个瓶子。标号为i,j,k,并要保证i< j,j<=k且第i个瓶子中至少要有1颗巧克力豆，随后这个人从第i个瓶子中拿走一颗豆子并在j,k中各放入一粒豆子（j可能等于k）。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！两人最后决定由聪聪先
取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为了必胜，第一步有多少种取法？
假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000
Input

输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数，
接下来为t组测试数据（t<=10）。
每组测试数据的第一行是瓶子的个数n，
接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数，表示每个瓶子中的豆子数。
Output

对于每组测试数据，输出包括两行，
第一行为用一个空格两两隔开的三个整数，表示要想赢得游戏，
第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k，
如果有多组符合要求的解，那么输出字典序最小的一组。
如果无论如何都无法赢得游戏，那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。
第二行表示要想确保赢得比赛，第一步有多少种不同的取法。
Sample Input

1 0 1 5000

0 0 1
Sample Output

0 2 3

-1 -1 -1

博弈论部分是OI很重要的一部分分枝，而且一般思维难度比较大，很多东西我也没有彻底理解。明天我会写一篇有关简单博弈论（SG函数）的文章，今天先上道题。

这道题的难点在于如何设定函数。

题目的要求是将某一堆取出一个，然后将后面的两堆加一。将每堆看成一个独立的游戏，这个想法是错误的，因为选一堆后还会选后面的堆，也就是说每堆都会互相影响。但我们发现每一堆中的任意石子，它们都是互相独立的，取任意一个都不会影响其它的。所以我们以石子来设函数。

我们设 $sg[i]$ 表示移动第 $i$ 堆里的任意一个石子，先手的胜负情况。

显然，第 $n$ 堆石子是不能选的，因为它后面没有石子，也就是没有后继状况，所以 $sg[n]=0$ ，而对于任意的 $k,k∈[1,n)$ ，它的后继可以选 $j、k（n>=j、k>k）$ 根据 $multi$ _ $SG$ 的性质，它们的游戏的和就是 $sg[j]$ ^ $sg[k]$ ,所以 $sg[i]=mex(sg[j]$ ^ $sg[k])$ 。

这样我们就求出了 $sg$ ，那么我们还要求初始的游戏的和，所以我们直接将所有石子的 $sg$ 值异或起来即可。也就相当于堆 i <script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">i</script>如果有奇数个石子，那就异或上，否则不操作即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int T,n,sgtot,ans,a[24],vis[55],sg[24];
void getsg(){memset(vis,0,sizeof(vis));sg[n]=0;for(int i=n-1;i>=1;i--){for(int j=i+1;j<=n;j++)for(int k=j;k<=n;k++) vis[sg[j]^sg[k]]=i;for(int j=0;;j++)if(vis[j]!=i){sg[i]=j;break;}}
}
int main()
{T=read();while(T--){n=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();getsg();sgtot=0;ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]&1) sgtot^=sg[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i+1;j<=n;j++)for(int k=j;k<=n;k++)if((sgtot^sg[i]^sg[j]^sg[k])==0){ans++;if(ans==1) printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1);}if(ans==0) puts("-1 -1 -1");printf("%d\n",ans);}return 0;
}