机器学习（9）---线性回归中的公式推导(手推)、闭式解和数值解

一、闭式解（解析解）

 1. 在机器学习中，闭式解也被称为解析解（analytical solution），是指可以通过严格的数学公式或方程直接求解出模型参数的解析解。
 2. 闭式解通常用于线性回归等一些简单的模型中，其中模型参数的求解可以通过最小二乘法等数学方法直接得到。对于这些模型，闭式解能够提供最佳的解决方案，因为它们能够给出全局最优解。

二、数值解

 1. 数值解（numerical solution），是指通过数值计算方法来近似求解模型参数或优化问题的解。
 2. 常见的数值解算法包括梯度下降、牛顿法、共轭梯度法、有限元方法、插值方法、数值逼近等。这些算法通过迭代地更新模型参数，使得损失函数或优化目标逐渐减小，直到达到收敛的条件。

总结：（1）数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值；而解析解为该函数的解析式。 （2）解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值；数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。

三、一元线性回归中w和b的推导

 注：根据代价函数，利用最小二乘法来求：

四、多元线性回归中w的推导

五、角标问题

 1. $x^i$ 表示第 $i$ 个输入变量/ 特征属性。$x_j$ 表示第 $j$ 个特征。$x_j^i$ 表示 $i$ 输入变量的 $j$ 特征。

 2. 如下面这个题答案是 $30$。