C++实现谢尔排序（希尔排序）(shell sort)

谢尔排序和插入排序还是有类似的，可以说插入排序是谢尔排序中必经的一步，或者说是特殊的一种情况。因为谢尔排序需要使用一个增量序列$h_k$， $k=1,2,3,...,t$，其中$h_1=1$。然后会根据不同的$h_k$，进行排序，每次排序的方式和插入排序相似，但是间隔为$h_k$，因此当$k=1$的时候，便是插入排序了。对谢尔排序，需要从$h_t$开始，反复执行类似的操作，直到$k=1$。所以，插入排序是谢尔排序必经的一步。因此，只要$h_1=1$，谢尔排序一定成功，但是效率是受到增量序列$h_k$的选择的。常见的选择（也叫做谢尔增量）是$h_t=\lfloor N/2 \rfloor，h_k=\lfloor h_{k+1}/2 \rfloor$，其中$\lfloor x \rfloor$表示向下取整，及小于等于x的最大整数。但是这个效果并不太好。比如待排序列为$1,9,2,10,3,11,4,12,5,13,6,14,7,15,8,16$，此时只有$h_1$排序有效，其余的都没有改变顺序。因此选择增量序列$h_k$的时候，尽量避免序列中值（尤其是相邻的值）互为倍数。现在效果比较好的序列有Hibbard序列，Pratt序列，Sedgewick序列等等（百度百科上有举例Shell排序）。对于时间界，shell排序的比较难于证明和推导，weiss的书上有部分的推导。使用谢尔增量进行谢尔排序时，最坏的情况运行时间是$\Theta (N^2)$。然后如果使用Hibbard序列作为增量进行排序，最坏的情况运行时间为$\Theta (N^{3/2})$。

为什么谢尔排序效率一般来说比插入排序更高？直观的想，如果待排序列比较有序，插入排序效果会大大提高。那么对于$h_k$排序， $k=2,3,...,t$，就是为了让进行$h_1$排序（此时就是插入排序了）前，序列变得比较有序了。什么是比较有序？及逆序对更少了。因此为了是一个排序算法以亚二次时间运行，必须执行一些比较，特别是对相距较远的元素进行交换。这样进行一次交换，就不止减少一个逆序对，而是多个，从而提高排序的时间效率。

下面记录一下今天的代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<random>
#include<ctime>
#include<iterator>
#include<algorithm>
using namespace std;/*
* 谢尔排序，从小到大
* 采用 Hibbard 提出的增量序列
*/
template<typename T>
void shellSort(vector<T> & a)
{size_t gap;for (gap = 0; gap < a.size() / 4; gap = gap * 2 + 1); // 根据a的尺寸获得增量序列的最大值for (; gap > 0; gap = (gap - 1) / 2){for (size_t i = gap; i < a.size(); ++i){T tmp = a[i]; // 临时存储待寻找位置的值（因为每一趟相当于一次插入排序）size_t j = i; for (; j >= gap && tmp < a[j - gap]; j -= gap)a[j] = a[j - gap];a[j] = tmp;}}}template<typename T>
void printVector(vector<T> & v)
{copy(v.cbegin(), v.cend(), ostream_iterator<T>(cout, " "));cout << endl;
}int main()
{vector<int> source;uniform_int_distribution<int> u(0, 100);default_random_engine e(static_cast<unsigned int>(time(0)));for (int i = 0; i < 30; i++){source.push_back(u(e));}cout << "排序前：" << endl;printVector(source);shellSort(source);cout << "排序后：" << endl;printVector(source);int a;cin >> a;return 0;
}

运行结果为