动态规划——装配线调度问题

一、问题描述

        装配线调度问题如下：

        Colonel汽车公司在有两条装配线的工厂内生产汽车，一个汽车底盘在进入每一条装配线后，在每个装配站会在汽车底盘上安装不同的部件，最后完成的汽车从装配线的末端离开。如下图1所示。

图1 装配线示意图

        每一条装配线上有n个装配站，编号为j=1,2,...,n，将装配线i（i为1或2）的第j个装配站表示为S(i,j)。装配线1的第j个站S(1,j)和装配线2的第j个站S(2,j)执行相同的功能。然而这些装配站是在不同的时间建造的，并且采用了不同的技术，因此，每个站上完成装配所需要的时间也不相同，即使是在两条装配线上相同位置的装配站也是这样。把每个装配站上所需要的装配时间记为a(i,j)，并且，底盘进入装配线i需要的时间为e(i)，离开装配线i需要的时间是x(i)。正常情况下，底盘从一条装配线的上一个站移到下一个站所花费的时间可以忽略，但是偶尔也会将未完成的底盘从一条装配线的一个站移到另一条装配线的下一站，比如遇到紧急订单的时候。假设将已经通过装配站S(i,j)的底盘从装配线i移走到另一条装配线所花费的时间为t(i,j)，现在的问题是要确定在装配线1内选择哪些站以及在装配线2内选择哪些站，以使汽车通过工厂的总时间最小。

二、问题分析

        初看该问题，最简单的解决方案就是遍历法，在遍历的过程中得出最小时间。但应当看到，当站点数n较大时，需要遍历2的n次方条路线，效率是较低的。那么，有没有效率更高的解决方案呢？

        为了方便分析问题，我们为该问题建立一个简单的数学模型。假设通过装配站j的最短总时间为f(j)，通过装配站j的最短路线选择的装配线是r(j)（r(j)的值为1或2），则汽车通过工厂的总时间为f=f(n)+x(r(n))，其中x(r(n))为离开装配线r(n)的需要的时间。那么，现在关键的问题就是要计算出f(n)和r(n)。汽车通过装配站n的路线中也必然通过了装配站n-1，如果计算出了f(n-1)和r(n-1)，则f(n)就是f(n-1)加上从第n-1个装配站到第n个装配站的最短时间。而知道了r(n-1)，计算从第n-1个装配站到第n个装配站的最短时间是非常容易的，记!r(j)为另一条装配线，则只需要找出a(r(n-1),n)和a(!r(n-1),n)+t(r(n-1), n-1)中的较小值即可。

        根据上面的分析，可以得出：

        f(n)=f(n-1)+min(a(r(n-1),n),a(!r(n-1),n)+t(r(n-1), n-1))

        r(n)=r(n-1) 如果a(r(n-1),n) <=a(!r(n-1),n)+t(r(n-1), n-1)

                !r(n-1) 如果a(r(n-1),n) > a(!r(n-1),n)+t(r(n-1), n-1)

        更一般地，我们可以得出：

        f(1)=min(e1+a(1,1), e2+a(2, 1))

        r(1)=1 如果e1+a(1,1) <=e2+a(2, 1)

                2 如果e1+a(1,1) >e2+a(2, 1)

        f(j)=f(j-1)+min(a(r(j-1),n),a(!r(j-1),n)+t(r(j-1), j-1)) 其中2=<j<=n

        r(j)=r(j-1) 如果a(r(j-1),j) <=a(!r(j-1),j)+t(r(j-1), j-1)

               !r(j-1)  如果a(r(j-1),j) > a(!r(j-1),j)+t(r(j-1), j-1)

        有了上面的递推式，我们就可以采用自底向上的方式计算出汽车通过工厂的最短时间和采用的具体路线。

三、程序实现

        下面是我写的解决装配线调度的程序：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;double f(int stationNo, int &lineNo, const vector<double> &duaration1, const vector<double> &duaration2, const vector<double> &line1to2, const vector<double> &line2to1, const double &in1, const double &in2);int main()
{// 默认进入和出来的花费为时间1，转移需要花费的时间也都为1，每条装配线每个站需要的时间为下面两个数组所示，则正确调度序列应该为：2，1，2，总时间应该为10double dTemp1[] = {2, 1, 6};double dTemp2[] = {1, 3, 4};size_t size = sizeof(dTemp1) / sizeof(double);vector<double> duaration1(dTemp1, dTemp2 + size), // 第一条装配线每个站需要花费的时间duaration2(dTemp2, dTemp2 + size), // 第二条装配线每个站需要花费的时间line1to2(2, 1), // 从第一条装配线移动到第二条装配线需要的时间，假设都为1line2to1(2, 1); // 从第二条装配线移动到第一条装配线需要的时间，假设都为1double in1 = 1.0, in2 = 1.0, out1 = 1.0, out2 = 1.0; // 进入和离开的时间，假设都为1int lineNo = 0; // 最后从哪条装配线出来double totalTime = f(size - 1, lineNo, duaration1, duaration2, line1to2, line2to1, in1, in2);if (lineNo == 1)totalTime += out1;elsetotalTime += out2;cout << "Total time " << totalTime << endl;return 0;
}double f(int stationNo, int &lineNo, const vector<double> &duaration1, const vector<double> &duaration2, const vector<double> &line1to2, const vector<double> &line2to1, const double &in1, const double &in2)
{if (stationNo == 0){double time = 0.0;double time1 = in1 + duaration1.at(0);double time2 = in2 + duaration2.at(0);time = (time1 <= time2) ? time1 : time2;lineNo = (time1 <= time2) ? 1 : 2;cout << "station " << stationNo + 1 << " produced at line " << lineNo << endl;return time;}double previousTime = f(stationNo - 1, lineNo, duaration1, duaration2, line1to2, line2to1, in1, in2); // f(n-1)花费的时间double stationNoTime = 0.0; // 本站需要花费的时间if (lineNo == 1) // 之前的作业在第一条装配线完成{stationNoTime = duaration1.at(stationNo);double toLine2Time = duaration2.at(stationNo) + line1to2.at(stationNo - 1);if (stationNoTime > toLine2Time){stationNoTime = toLine2Time;lineNo = 2;}} else if (lineNo == 2) // 之前的作业在第二条装配线完成{stationNoTime = duaration2.at(stationNo);	double toLine1Time = duaration1.at(stationNo) + line2to1.at(stationNo - 1);if (stationNoTime > toLine1Time){stationNoTime = toLine1Time;lineNo = 1;}}cout << "station " << stationNo + 1 << " produced at line " << lineNo << endl;double totalTime = stationNoTime + previousTime;return totalTime;
}

        结果为：

station 1 produced at line 2
station 2 produced at line 1
station 3 produced at line 2
Total time 10

        结果正确。

       本文转载自：http://www.cnblogs.com/hujian/archive/2012/03/14/2396565.html，略做修改。