CSP-S 2019初赛知识点总结之主定理

本文主要是介绍CSP-S 2019初赛知识点总结之主定理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

主定理

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先介绍几个符号的含义。

符号$\Theta$ ，读音西塔，既是上界也是下界，等于，严格贴紧。

符号$O$，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。

符号$o$，读音也是殴，小于，不贴紧。

符号$\Omega$，读音偶眯嘎，表示下界，大于等于，贴紧未知。

符号$\omega$，读音也是偶眯嘎，表示下界，大于，不贴紧。

上面的“贴紧”是我根据tight翻译过来的(不是很准确啊)，大概就是是否严格等于的意思吧。

意思就是$\Theta$是平均时间复杂度，$O$是最坏情况下的复杂度，$\Omega$是最好情况下的复杂度。

假设我们有递推关系式：

$$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$$

其中，$n$ 为问题的规模、$a$ 为递推下子问题的数量，$\frac{n}{b}$ 为每个子问题的规模，$f(n)$ 为递推后做的额外的计算工作。

1.假设存在常数$ϵ$>0，使得$f(n)=O(n^{logb(a)-ϵ})$，则$T(n)=\Theta (n^{logb(a)})$。

具体意思是 $f(n)$ 的上界是 $n$ 的幂次，且 $logb(a)$ 比这个幂次要大，则时间复杂度为这个n的$logb(a)$次。

例子：二叉树的遍历。$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta (1)$。其中$a=2$，$b=2$，$f(n)=1$，此时$ϵ=1$。$T(n)=\Theta (n)$。

2.假设存在常数k≥0，使得$f(n)=\Theta (n^{logb(a)}lo{g}^{k}n)$，则$T(n)=\Theta (n^{logb(a)}lo{g}^{k+1}n)。$

具体意思是 $f(n)$ 是 $n$ 的 $logb(a)$ 次，再乘以一个 $log$，则复杂度是 $f(n)$ 的复杂度再乘以一个$log$。

例子：归并排序。$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta (n)$。其中$a=2$，$b=2$，$f(n)=n$，此时$k=0$。$T(n)=\Theta (nlo{g}^{2}n)$。

例子：二分搜索（折半搜索）。$T(n)=T(\frac{n}{2})+\Theta (1)$，其中$a=1$，$b=2$，$f(n)=1$，此时$k=0$，则$T(n)=\Theta (lo{g}^{2}n)$。

3.假设存在常数ϵ>0 ，有$f(n)=\Omega (n^{logb(a)+ϵ})$，同时存在常数$c<1$以及充分大的 $n$ 满足 $af(\frac{n}{b})\le cf(n)$那么 $T(n)=\Theta (f(n))$。

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