07.AOE网和图的关键路径

本文主要是介绍07.AOE网和图的关键路径，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

相关代码地址：https://gitee.com/gudongkun/datestruct

一、什么是AOE网

AOE(Activity on edge network) :在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网

AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点）；没有出边的点称为终点（或汇点）

二、AOE网的性质

只有再某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的活动才能开始；
只有再进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

三、AOE网可以解决下列问题

完成整个工程至少需要多少时间
为缩短完成工程所需要的时间，应当加快哪些活动

四、关键活动

1.关键路径

从开始到结束最长的一条路径，可能不只一条，那么如何找到这样条路径呢？这就需要，找本节的重要概念关键活动 （全部由关键活动组成的路径，就是关键路径）

2.关键活动

（1）如果缩短某一条活动的时间，不能改变总体结束时间，活动就不是关键活动。
（2）如果缩短某条活动的时间，能减少总体结束时间,活动就是关键活动。
（3）活动的最早发生时间，和最迟发生时间一样，活动，就是关键活动。

五、求关键活动

上文说到，活动的最早发生时间，和最迟发生时间一样，活动，就是关键活动。
这两个时间怎么求呢？下面将给出答案。

1.关键活动的4个前导量

（1）事件A的最早发生时间event_early[B] ：event_early[B] = max{event_early[BeforeB]+len<BeforeB,B>}
（2）事件A的最迟发生时间event_latest[B]：event_latest[B] = min{event_latest[AfterB]-len<B,AfterB>}
（3）活动AB 的最早发生时间 activity_early ：activity_early[BC] = event_early[B]
（4）活动AB 的最迟发生时间 activity_latest : activity_latest[CD] = event_latest[D] - len[CD]

注：len<A,B>表示弧AB的长度

(1) event_early分析

event ： A B C D E F G H I
event_early ： 0 6 4 5 7 7 16 14 18

从起点开始算，起点时间一定是0
之后的事件用前一个事件的时间推算如：
1. event_early[B] = max{event_early[A]+len<A,B>}
2. event_early[E] = max{event_early[B]+len<B,E> ，event_early[C]+len<C,E>}

（2）event_latest分析,依赖event_early

event ： A B C D E F G H I
event_early ： 0 6 4 5 7 7 16 14 18
event_latest： 0 6 6 8 7 10 16 14 18

从后往前计算，结束事件直接取event_early
用前一个事件的时间推算如：event_latest[B] = min{event_latest[C]-len<A,B>}
开始时间，必定是0

（3）activity_early 分析

活动BC 的最早开始时间应该等于时间B的最早开始时间因此有：activity_early[BC] = event_early[B]

 event       ： A B  C D  E  F  G  H  Ievent_early ： 0 6  4 5  7  7  16 14 18event_latest： 0 6  6  8 7 10 16 14 18activity       : AB  AC   AD    BE  CE  DF  EG  EH  FH  GI  HI            activity_early : 0    0    0    6   4   5   7   7   7   16  14

(4) activity_latest分析

activity_latest 要从前往后算

例如活动CD 的最晚开始时间要保证时间D的最迟时间不能拖后所有：activity_latest[CD] = event_latest[D] - len[CD]

 event       ： A B C D E  F  G  H  Ievent_early ： 0 6  4 5  7  7  16 14 18event_latest： 0 6  6  8 7 10 16 14 18activity       : AB  AC   AD   BE   CE  DF  EG  EH  FH  GI  HI            activity_early : 0    0    0    6   4   5   7   7   7   16  14activity_latest: 0    2    3    6   6   8   7   11  10  16  14

2.关键活动：

最早开始时间和最晚开始时间是一样的称为关键活动。

 activity      : (AB)  AC  AD  (BE)  CE  DF (EG) (EH)  FH  (GI)  (HI)            activity_early : 0    0    0    6   4   5   7    7    7    16    14activity_latest: 0    2    3    6   6   8   7    7    10   16    14

注意：

关键活动组成的路径叫关键路径
虽然会产生多条关键路径，但是多条关键路径的执行时间是一样的。
工程的总执行时间就是任意选其中一条关键路径的总执行时间。

六、动画演示

https://www.bilibili.com/video/BV1PW41187vc

七、代码实现

aoe.go

package aoeimport ("fmt""gitee.com/gudongkun/datestruct/dataStructures/graph""gitee.com/gudongkun/datestruct/dataStructures/linear"
)func GetGraph() graph.DMGraph {g := graph.NewDMGraph()g.AddNode("A")g.AddNode("B")g.AddNode("C")g.AddNode("D")g.AddNode("E")g.AddNode("F")g.AddNode("G")g.AddNode("H")g.AddNode("I")g.AddEdge("A", "B", 6)g.AddEdge("A", "C", 4)g.AddEdge("A", "D", 5)g.AddEdge("B", "E", 1)g.AddEdge("C", "E", 1)g.AddEdge("E", "G", 9)g.AddEdge("E", "H", 7)g.AddEdge("G", "I", 2)g.AddEdge("H", "I", 4)g.AddEdge("D", "F", 2)g.AddEdge("F", "H", 4)return g
}func AOEKeyEvents() []string {g := GetGraph()eventEarly := make(map[string]int)eventLatest := make(map[string]int)activeEarly := make(map[string]int)activeLatest := make(map[string]int)// 1. 求eventEarlyindegrees := make(map[string]int)stack := linear.NewStack()for _, v := range g.Nodes {indegrees[v] = g.GetIndegree(v)if indegrees[v] == 0 {stack.Push(v)indegrees[v] = -1eventEarly[v] = 0}}for !stack.IsEmpty() {v, _ := stack.Pop()for _, edge := range g.GetEdgesByHead(v) {indegrees[edge.Tail]--if indegrees[edge.Tail] == 0 {stack.Push(edge.Tail)indegrees[edge.Tail] = -1for _, endEdge := range g.GetEdgesByTail(edge.Tail) {val, ok := eventEarly[edge.Tail]if !ok {eventEarly[edge.Tail] = eventEarly[endEdge.Head] + endEdge.Val} else {if val < eventEarly[endEdge.Head]+endEdge.Val {eventEarly[edge.Tail] = val}}}}}}// 2. 求eventLatestoutdegrees := make(map[string]int)outstack := linear.NewStack()for _, v := range g.Nodes {outdegrees[v] = g.GetOutdegree(v)if outdegrees[v] == 0 {outstack.Push(v)outdegrees[v] = -1eventLatest[v] = eventEarly[v]}}for !outstack.IsEmpty() {v, _ := outstack.Pop()for _, edge := range g.GetEdgesByTail(v) {outdegrees[edge.Head]--if outdegrees[edge.Head] == 0 {outstack.Push(edge.Head)outdegrees[edge.Head] = -1for _, endEdge := range g.GetEdgesByHead(edge.Head) {val, ok := eventLatest[edge.Head]if !ok {eventLatest[edge.Head] = eventLatest[endEdge.Tail] - endEdge.Val} else {if val < eventLatest[endEdge.Tail]-endEdge.Val {eventLatest[edge.Head] = val}}}}}}// 3.求 activityEarlyfor _, v := range g.GetEdgeList() {activeEarly[v.Head+"-"+v.Tail] = eventEarly[v.Head]}// 4. 求activeLatestfor _, v := range g.GetEdgeList() {activeLatest[v.Head+"-"+v.Tail] = eventLatest[v.Tail] - v.Val}// 5.关键活动var keyActivity []stringfor k,v := range activeEarly {if activeLatest[k] == v {keyActivity = append(keyActivity,k)}}fmt.Println(keyActivity)return keyActivity}

aoe_test.go

package aoeimport "testing"func TestAOEKeyEvents(t *testing.T) {list := AOEKeyEvents()if len(list) != 6 {t.Fail()}
}

添加了新方法的有向图 dmgraph.go

package graphimport ("errors"
)const DMaxSize = 20
const DMaxNum = 99999type DMGraph struct {Edges   [DMaxSize][DMaxSize]intEdgeNum intNodes   []stringIndexs  map[string]int
}type DEdge struct {Head, Tail stringVal        int
}func NewDMGraph() DMGraph {var g DMGraphfor k, v := range g.Edges {for kk, _ := range v {if k == kk {g.Edges[k][kk] = 0} else {g.Edges[k][kk] = DMaxNum}}}g.Indexs = make(map[string]int)return g}func (g *DMGraph) AddNode(nodeName string) error {if g.Indexs == nil {return errors.New("不是有效的图")}if _, ok := g.Indexs[nodeName]; ok {return errors.New("已经添加过此结点")}g.Indexs[nodeName] = len(g.Nodes)g.Nodes = append(g.Nodes, nodeName)return nil
}func (g *DMGraph) AddEdge(Head, Tail string, val int) error {if _, ok := g.Indexs[Head]; !ok {return errors.New("结点不存在：" + Head)}if _, ok := g.Indexs[Tail]; !ok {return errors.New("结点不存在：" + Tail)}if g.Edges[g.Indexs[Head]][g.Indexs[Tail]] != DMaxNum {return errors.New("边已经存在")}g.Edges[g.Indexs[Head]][g.Indexs[Tail]] = valg.EdgeNum++return nil
}func (g *DMGraph) GetEdgeList() []DEdge {var edgeList []DEdgefor i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {for j := 0; j < len(g.Nodes); j++ {if g.Edges[i][j] != DMaxNum && i != j {edgeList = append(edgeList,DEdge{Head: g.Nodes[i], Tail: g.Nodes[j], Val: g.Edges[i][j]},)}}}return edgeList
}func (g *DMGraph) GetIndegree(ele string) int {tail, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return -1 //点不存在}indegree := 0for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[i][tail] != 0 && g.Edges[i][tail] != DMaxNum {indegree++}}return indegree
}func (g *DMGraph) GetOutdegree(ele string) int {head, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return -1 //点不存在}outdegree := 0for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[head][i] != 0 && g.Edges[head][i] != DMaxNum {outdegree++}}return outdegree}func (g *DMGraph) GetEdgesByTail(ele string) []DEdge {var edgeList []DEdgetail, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return nil}for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[i][tail] != 0 && g.Edges[i][tail] != DMaxNum {edgeList = append(edgeList,DEdge{Head: g.Nodes[i], Tail: g.Nodes[tail], Val: g.Edges[i][tail]},)}}return edgeList
}func (g *DMGraph) GetEdgesByHead(ele string) []DEdge {var edgeList []DEdgehead, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return nil}for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[head][i] != 0 && g.Edges[head][i] != DMaxNum {edgeList = append(edgeList,DEdge{Head: g.Nodes[head], Tail: g.Nodes[i], Val: g.Edges[head][i]},)}}return edgeList
}