机器学习: Canonical Correlation Analysis 典型相关分析

本文主要是介绍机器学习: Canonical Correlation Analysis 典型相关分析，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Canonical Correlation Analysis(CCA)典型相关分析也是一种常用的降维算法。我们知道，PCA(Principal Component Analysis) 主分量分析将数据从高维映射到低维空间同时，保证了数据的分散性尽可能地大, 也就是数据的方差或者协方差尽可能大。而LDA(Linear Discriminant Analysis) 线性判别分析则利用了类标签，利用一种监督学习的方法，将数据从高维空间映射到低维空间时，让不同类的数据尽可能地分开而同一类的数据尽可能地聚合。

但是，有的时候，我们想探讨多个线性空间之间的相关性。比如有的时候我们会从图像中提取各种特征，每一种特征都可以构成一个线性空间，为了分析这些空间之间的相关性，我们可以利用CCA 来做分析。

假设我们有两个特征空间，$S1={\mathbf{x}_{1} \in R^{d1}}$, $S2={\mathbf{x}_{2} \in R^{d2}}$, 我们可以将两个特征向量合并。

$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix}\mathbf{x}_{1} \\\mathbf{x}_{2} \end{pmatrix} \quad E(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}\mathbf{\mu}_{1} \\\mathbf{\mu}_{2} \end{pmatrix} \quad \Sigma = \begin{pmatrix}\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\\Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{pmatrix}$$

可以看到，$\Sigma_{12}=\Sigma_{21}^{T}$，$\Sigma$ 称为协方差矩阵。我们引入投影向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, 假设投影之后的变量满足:

$$u=\mathbf{a}^{T} \mathbf{x}_{1} \quad v=\mathbf{b}^{T} \mathbf{x}_{2}$$

可以进一步算出 $u, v$ 的方差和协方差:

$$\text{var}(u)= \mathbf{a}^{T} \Sigma_{11} \mathbf{a}, \quad \text{var}(v)=\mathbf{b}^{T} \Sigma_{2} \mathbf{b}, \quad cov(u,v)=\mathbf{a}^{T} \Sigma_{12} \mathbf{b}$$

可以计算出 $u, v$ 的相关系数:

$$Corr(u,v)=\frac{\text{cov}(u,v)}{\sqrt{\text{var}(u)} \sqrt{\text{var}(v)}}$$

将$u,v$的表达式代入，可以得到:

$$Corr(u,v)=\frac{\mathbf{a}^{T} \Sigma_{12} \mathbf{b}}{\sqrt{\mathbf{a}^{T} \Sigma_{11} \mathbf{a}} \sqrt{\mathbf{b}^{T} \Sigma_{22} \mathbf{b}}}$$

我们的目标是让相关系数$Corr(u,v)$ 尽可能地大。为了求解$\mathbf{a}, \mathbf{b}$, 可以固定分母而让分子最大化，所以上面的函数可以变成:

$$\max_{\mathbf{a}, \mathbf{b}} \mathbf{a}^{T} \Sigma_{12} \mathbf{b}$$

$$s.t. \quad \mathbf{a}^{T} \Sigma_{11} \mathbf{a}=1, \quad \mathbf{b}^{T} \Sigma_{22} \mathbf{b}=1$$

构造拉格朗日等式:

$$L=\mathbf{a}^{T} \Sigma_{12} \mathbf{b}-\frac{\lambda_{1}}{2}(\mathbf{a}^{T} \Sigma_{11} \mathbf{a}-1)-\frac{\lambda_{2}}{2}(\mathbf{b}^{T} \Sigma_{22} \mathbf{b}-1)$$

$L$ 分别对$\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 求导，可以得到:

$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{a}}= \Sigma_{12} \mathbf{b}- \lambda_{1} \Sigma_{11} \mathbf{a}=0$$
$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{b}}= \Sigma_{21} \mathbf{a}- \lambda_{2} \Sigma_{22} \mathbf{b}=0$$

根据约束条件，可以得到:

$$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\mathbf{a}^{T} \Sigma_{12} \mathbf{b}$$

所以只要求出 $\lambda_{1}$ 或者 $\lambda_{2}$ 就可以得到最大的相关系数。令 $\lambda=\lambda_{1}=\lambda_{2}$.

通过上面的偏导数，我们可以得到:

$$\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \mathbf{b}= \lambda \mathbf{a}$$
$$\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} \mathbf{a}= \lambda \mathbf{b}$$

写成矩阵形式:

$$\begin{pmatrix}\Sigma_{11}^{-1} & 0 \\0 & \Sigma_{22}^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & \Sigma_{12} \\\Sigma_{21} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{a} \\\mathbf{b} \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}\mathbf{a} \\\mathbf{b} \end{pmatrix}$$

令:

$$B= \begin{pmatrix}\Sigma_{11} & 0 \\0 & \Sigma_{22} \end{pmatrix}, \quad A= \begin{pmatrix}0 & \Sigma_{12} \\\Sigma_{21} & 0 \end{pmatrix} \quad \mathbf{w}=\begin{pmatrix}\mathbf{a} \\\mathbf{b} \end{pmatrix}$$ ,
那么，上式可以表示成:

$$B^{-1}A\mathbf{w}=\lambda \mathbf{w}$$

所以,$\lambda$ 和 $\mathbf{w}$ 就是$B^{-1}A$ 的特征值和特征向量。我们可以求出 $B^{-1}A$ 的特征值和特征向量，然后利用特征向量将原来的特征
$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}$做映射。对应特征值 $\lambda$ 的求解，可以有更简单的方法，从上面的偏导数，我们可以得到如下等式:

$$\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} \mathbf{a}=\lambda^{2} \mathbf{a}$$

我们可以利用上面的表达式求出 $\lambda$ 和 $\mathbf{a}$，然后再待会上面的偏导数等式求出 $\mathbf{b}$.

$\lambda$ 就是 $u,v$的相关系数，$u, v$ 就是一对典型变量(canonical variables)。按照 $B^{-1}A$ 的特征值从大到小排列，可以求出一系列的典型变量。特征值越大，说明典型变量的相关性越强。

参考来源：
http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/06/20/2085491.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_correlation

这篇关于机器学习: Canonical Correlation Analysis 典型相关分析的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---