题解 - CF613E Puzzle Lover

$\mathrm{C}\mathrm{F}613\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}$

• 头铁地去做一道$\ast 3200$的题，没想到还是比较好想~~（看题解~~

题目意思

• 题目传送门

• 就是给你一个$2\times n$的字符矩阵，以及给你个$m$的字符串$t$。问你有多少种方案使得路径上的字符连接起来的字符串为$t$（每次可以往上下左右走，但不能走到同一格）。答案对$1e9+7$取模

• $n,m\le 2e3$

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}$

• 前置知识：字符串哈希+DP，是不是$PJ$内容啊。

• 我们设这条路径的端点为$s,t$。那么一条$s\to t$的路径样子如下：
  

• 部分一: 从$s$往左走，再往右绕回来

• 部分二: 上下往右边移动

• 部分三: 绕道$t$的右边再绕回来

• 然后我们对于$1,3$部分字符串哈希。这个很简单，即枚举终点用哈希判断是否合法。以及为中间部分做$dp$预处理。不在过多讲。

• 关键是中间反复横跳的过程，设$f_{i,j,k}$表示到$(i,j)$配对到$t$中第$k$个字符，从$f_{i,j-1,k-1}$转移过来。同理$g_{i,j,k}$表示到$(i,j)$配对到$t$中第$k$个字符，从$g_{3-i,j,k-1}$转移过来。（$3-i$即在第一行与第二行反复横跳的简单转换）。

• 那么转移就很简单（不会往回走）。所以$f,g$之间相互更新即可。具体的：

  • $f_{i,j+1,k+1}=\sum g_{i,j,k}[j\le n,c{h}_{i,j+1}=t_{k+1}]$
  • $f_{i,j+1,k+1}=\sum f_{i,j,k}[j\le n,c{h}_{i,j+1}=t_{k+1}]$
  • $g_{3-i,j,k+1}=\sum f_{i,j,k}[c{h}_{3-i,j}=t_{k+1}]$

• 对于第三部分我们来统计答案。我们枚举终点算出起点，那么$ans=\sum f_{i,j-1,m-1}+\sum g_{i,j-1,m-1}$（为什么是$j-1$因为第二部分的结束的那一列加一也是$t$所在的那一列）。

• 我们还存在$s,t$在同一列的情况，此时把字符串翻转的答案是重的所以要删掉。同时也要加上这种情况的贡献（即代码中的$gs$，此时不存在第二部分的贡献）

• 于是我们做出了一道$3200$的题。

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define int long long
using namespace std;inline int read()
{int sum=0,ff=1; char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') ff=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch))sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();return sum*ff;
}const int N=2005;
const int mo=1e9+7;
const int base=131;char ch[3][N],t[N];
int Hash1[3][N],Hash2[3][N],Hasht[N],bin[N];
int n,m,f[3][N][N],g[3][N][N],ans,gs;inline int get1(int l,int r,int id)
{return Hash1[id][r]-Hash1[id][l-1]*bin[r-l+1];
}inline int get2(int l,int r,int id)
{return Hash2[id][l]-Hash2[id][r+1]*bin[r-l+1];
}inline void Add(int &x,int y)
{x+=y;if(x>=mo) x-=mo;
}inline int merge(int H1,int H2,int len)
{return H2+H1*bin[len];
}inline void dp()
{memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));for ( int i=1;i<=m;i++ ) Hasht[i]=Hasht[i-1]*base+(t[i]-'a'+1);for ( int i=1;i<=2;i++ ) for ( int j=1;j<=n;j++ )for ( int k=j;k>=1;k-- ){int len=2*(j-k+1);if(len>m) continue;int HA=get1(k,j,i);int HB=get2(k,j,3-i);int HH=Hasht[len];if(merge(HB,HA,j-k+1)==HH) {if(len==m) gs++;else g[i][j][len]=1;}}for ( int i=1;i<=2;i++ ) for ( int j=1;j<=n;j++ )if(ch[i][j]==t[1]) g[i][j][1]=1;for ( int i=m;i>=1;i-- ) Hasht[i]=Hasht[i+1]*base+(t[i]-'a'+1);for ( int k=1;k<m;k++ ) for ( int j=1;j<=n;j++ ) for ( int i=1;i<=2;i++ ) {if(g[i][j][k]) if(j<n&&ch[i][j+1]==t[k+1]) Add(f[i][j+1][k+1],g[i][j][k]);if(f[i][j][k]) {if(j<n&&ch[i][j+1]==t[k+1]) Add(f[i][j+1][k+1],f[i][j][k]);if(ch[3-i][j]==t[k+1]) Add(g[3-i][j][k+1],f[i][j][k]);}}for ( int i=1;i<=2;i++ ) for ( int j=1;j<=n;j++ ) {if(ch[i][j]==t[m]) {if(m==1) Add(ans,1);Add(ans,f[i][j-1][m-1]);Add(ans,g[i][j-1][m-1]);}for ( int k=j;k<=n;k++ ){int len=(k-j+1)*2;if(len>m) continue;int HA=get1(j,k,3-i);int HB=get2(j,k,i);int HH=Hasht[m-len+1];if(merge(HA,HB,k-j+1)==HH){if(len==m&&m!=2) gs++;else {Add(ans,f[i][j-1][m-len]);Add(ans,g[i][j-1][m-len]);}}}}
}signed main()
{scanf("%s",ch[1]+1);scanf("%s",ch[2]+1);n=strlen(ch[1]+1);scanf("%s",t+1);m=strlen(t+1);bin[0]=1;int Lim=max(n,m);for ( int i=1;i<=Lim;i++ ) bin[i]=bin[i-1]*base; for ( int i=1;i<=2;i++ ) for ( int j=1;j<=n;j++ ) Hash1[i][j]=Hash1[i][j-1]*base+(ch[i][j]-'a'+1);for ( int i=1;i<=2;i++ ) for ( int j=n;j>=1;j-- ) Hash2[i][j]=Hash2[i][j+1]*base+(ch[i][j]-'a'+1);dp();reverse(t+1,t+m+1);dp();Add(ans,gs/2);if(m==1) ans/=2;printf("%lld\n",ans);return 0;
}