点估计的性质和估计方法 Properties of Point Estimators and Methods of Estimation

本文主要是介绍点估计的性质和估计方法 Properties of Point Estimators and Methods of Estimation,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

目录

9.1 Introduction

9.2 Relative Efficiency

定义:

9.3 Consistency

定义:

定理:

9.4 Sufficiency

Sufficient 定义:

Likelihood 定义:

定理:

9.5 The Rao–Blackwell Theorem and Minimum-Variance Unbiased Estimation

Rao-Blackwell 定义:

MVUE 定义:

例题:

9.6 The Method of Moments

定义:

例题:

总结:

9.7 The Method of Maximum Likelihood

定义:

9.8 Some Large-Sample Properties of Maximum-Likelihood Estimators (Optional)


  • 9.1 Introduction

  • 9.2 Relative Efficiency

    • 定义:

  • 9.3 Consistency

    • 定义:

    • 定理:

  • 9.4 Sufficiency

    • Sufficient 定义:

    • Likelihood 定义:

    • 定理:

  • 9.5 The Rao–Blackwell Theorem and Minimum-Variance Unbiased Estimation

    • Rao-Blackwell 定义:

      • 提供了一个 sufficient statistic 和 unbiased estimator 之间的连接
      • 一个\hat{\theta}是θ的非偏估计,然后U是\hat{\theta}的sufficient statistic,那么U的一个函数也是θ的非偏估计,且U的方差更小。因此我们可以通过这个定理得到θ的更优非偏估计。
        • 具体步骤:1. 求出sufficient statistic U,2. 寻找h(U),使得E[h(U)]=θ。
    • MVUE 定义:

      • Minimum-variance unbiased estimator 最小方差非偏估计
    • 例题:

      • Y1, ..., Yn是伯努利变量,已知P(Yi=1)=p, P(y1=0)=1-p。求p的MVUE。
      • 解:
        • 1. 求sufficient statistic U:L(y_1, ..., y_n|p)=p(y_1)...p(y_2)=p^{y_1}(1-p)^{1-y_1}...p^{y_n}(1-p)^{1-y_n}=p^{\sum y_i}(1-p)^{n-\sum y_i} \cdot 1=g(\sum y_i, p) \cdot h(y_1, ..., y_n)\\ U=\sum y_i
        • 2. E(U)=E(\sum y_i)=np \rightarrow E(U/n)=E(\bar{Y})=p
        • 所以\bar{Y}是p的MVUE。
  • 9.6 The Method of Moments

    • 思想很简单,样本的秩应该是总体的秩的一个很好的估计。
      • 随机变量的第k个秩:\mu'_k=E(Y^k)
      • 对应的第k个样本秩:m'_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i^k
    • 定义:

    • 例题:

      • Y1, ..., Yn取自(0,θ)区间内的均分分布。θ未知,需要估计θ。
        • \mu'_1=\mu=\frac{0+\theta}{2}=\frac{\theta}{2}
        • m'_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nY_i=\bar{Y}
        • \mu'_1=m'_1 \rightarrow \frac{\theta}{2}=\bar{Y} \rightarrow \hat{\theta}=2\bar{Y}
    • 总结:

      • 很方便,计算出的估计都是consistent的。但是这些估计通常不是sufficient statistic的函数,所以不是很efficient(会比别的方法算出来的估计拥有更大的方差),有的时候甚至是biased的。
  • 9.7 The Method of Maximum Likelihood

    • 定义:

    • 一个很好的贴子:🔗
  • 9.8 Some Large-Sample Properties of Maximum-Likelihood Estimators (Optional)

这篇关于点估计的性质和估计方法 Properties of Point Estimators and Methods of Estimation的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!


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