【Google Code Jam 2009 round2 problem D】Watering Plants (两圆交点求法详解）

【Google Code Jam 2009 round2 problem D】Watering Plants 

你在温室种植了N株植物。为了给这些植物浇水，你购买了2台自动浇水的机器。每株植物i的圆心为(Xi,Yi)，半径为Ri。任意两个圆都不相交或相切。每台机器都可以给某个完全包含于半径为r的圆形区域内的植物浇水。求最小的r使得存在一种方案能给所有植物浇水。

限制条件

1<=Xi<=1000

1<=Yi<=1000

1<=Ri<=100

Small

1<=N<=3

Large

1<=N<=40

输入

输出

Case #1: 7.000000
Case #2: 8.000000

分析：

0）该题在《挑战程序竞赛第二版》【1】3.7.4中有所介绍，给出了求解算法，误差分析和临界情况的示例，本文整理了其中的思路并添加了产生临界情况的详细分析和求两圆交点坐标公式的推导

1）若对半径r存在一种浇水方案，则对任意R>r，对半径R肯定也存在一种浇水方案。因此容易想到可以使用二分搜索的方法在解空间搜索满足条件的最小值。

2）现在的问题在于能否找到一种高效的判别算法C(r)判断对半径r是否存在一种浇水方案。当两个浇水器的半径确定时，可以放置的位置有无数种情况，但是我们只需要判断两浇水器处于临界位置时是否存在浇水方案（即2个半径为r的圆是否刚好能覆盖所有植物）。当两个圆半径最小时，由于植物数N>=3，两个圆覆盖的植物数N1，N2>=1，若一个圆覆盖的植物数为1，则它半径最小时必定正好与它覆盖的植物同心。若一个圆覆盖的植物数Ni>=2，则它一定至少与两个植物相切。因此两个圆的圆心存在两种临界位置。求出所有临界位置的圆的圆心（这样的圆共有O(n^2)个）。判断这些临界位置的圆中是否存在两个圆可以覆盖所有的植物。因此存在复杂度为O(n^2)的判断算法

3）求解和两植物相切的浇水器的圆心

设植物圆1的圆心为O1(X1,Y1)，半径为r1，植物圆2的圆心为O2(X2,Y2)，半径为r2，浇水器半径为R

由于浇水器与植物1，2都相切，浇水器圆心在以O1为圆心，R1=R-r1为半径的圆和以O2为圆心，R2=R-r2为半径的圆的交点处。因此我们需要求解两圆交点的坐标。

设存在两圆X，Y

圆X 圆心A(x,y)，半径R1， 圆Y的圆心B(a,b)，半径R2，两圆交点为C、D，CD与AB的交点为E，过C作平行于Y轴直线，过E作平行于X轴直线，两者相较于F，过B作平行于Y轴直线，过A作平行X轴直线，两者相交于G，设E坐标为(x0,y0)，FE=x4，CF=y4，如下图【2】所示

令dx=a-x dy=b-y  a=AB=sqrt((a-b)^2+(b-y)^2)

CE^2=AC^2-AE^2=BC^2-BE^2=BC^2-(AB-AE)^2

整理得AE=(R1^2-R2^2+a^2)/(2a)

易得x0=dx*AE/AB

令b=AE/AB=(R1^2-R2^2+a^2)/(2a^2)

则x0=dx*b

同理y0=dy*b

易得三角形CFE与三角形AGB相似，因此

FE/CE=BG/AB

CE^2=AC^2-AE^2=R1^2-(b*a)^2

FE=BG/AB*CE=dy/a*sqrt(R1^2-(b*a)^2)=dy*sqrt(R1^2/a^2-b^2)

令d=sqrt(R1^2/a^2-b^2)

则x4=FE=dy*d

同理y4=CF=dy*d

于是

C点坐标为(x0-x4,y0+y4)

D点坐标为(x0+x4,y0-y4)

Q.E.D 

4)代码可以参考【1】中的实现

参考资料

【1】《挑战程序设计竞赛》作者: 秋叶拓哉 / 岩田阳一/北川宜稔 

【2】图片来自于《两圆相交求交点算法证明》 

http://wenku.baidu.com/link?url=hlnh_qEKfbTg1tEcLLHeLUdhfL_5px9sEj2aLPSmVSjuqdwNIAaM46iSzWX-L3srkdY1LnNJBsUJCwQyZklh3cPasuA1TLLOsmdL2D6GEkm