九种常用二次曲面的构造过程

本文主要是介绍九种常用二次曲面的构造过程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1.九种常用二次曲面的构造过程

声明：部分截图来自《Thomas Calculus》、构造过程参考自李艳芳考研数学

1.1 椭圆锥面

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在 $xOz$ 平面上的直线 $x=az$

绕$z$轴旋转得到圆锥面
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}=z^2$$

再将此旋转曲面沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍，得到椭圆锥面
椭圆锥面标准方程为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$$

1.2 椭球面

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将$xOz$平面上的椭圆
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

绕$z$轴旋转得到旋转椭球面
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

再将此旋转曲面沿着$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍，得到椭球面
椭球面方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

1.3 单叶双曲面

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将$xOz$平面上的双曲线
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

绕$z$轴旋转得到旋转单叶双曲面
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

再将此旋转曲面沿着$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍，得到单叶双曲面
单叶双曲面方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

1.4 双叶双曲面

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将$xOz$平面上的双曲线
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

绕$x$轴旋转得到旋转双叶双曲面
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$$

再将此旋转曲面沿着$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍，得到双叶双曲面
双叶双曲面方程
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

1.5 椭圆抛物面

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将$xOz$平面上的抛物线
$$\frac{x^2}{a^2}=z$$

绕$z$轴旋转得到旋转抛物面
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}=z$$

再将此旋转曲面沿着$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍，得到椭圆抛物面
椭圆抛物面方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$

1.6 双曲抛物面（马鞍面）

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绿色抛物线沿着蓝色抛物线（或蓝色沿着绿色）移动构成马鞍面
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$

若用平面 $x=t$ 来截取双曲抛物面，所得截痕为平面 $x=t$ 上的抛物线
$$\frac{y^2}{b^2}=-z+\frac{t^2}{a^2}$$

若用平面 $y=t$ 来截取双曲抛物面，所得截痕为平面 $y=t$ 上的抛物线
$$\frac{x^2}{a^2}=z+\frac{t^2}{b^2}$$

1.7 椭圆柱面

椭圆上下平移得到
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

1.8 双曲柱面

双曲线上下平移得到
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

1.9 抛物柱面

抛物线上下平移得到
$$y^2=ax$$

这篇关于九种常用二次曲面的构造过程的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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