浅谈虚数i在电路分析中的作用

2023-11-03 01:20

本文主要是介绍浅谈虚数i在电路分析中的作用,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

虚数在我们的电子电路中应用非常广泛,从电路分析的向量法,数字信号处理的FFT运算,还有多阶微分

方程的求解等等,然而,虚数的出现,正式我开始迷惑的时候,以前,我们只知道虚数 i的平方=-1,然而后来

从容抗1/jWC,感抗jWL,到后来的各种复杂公式,都带上了虚数,这让我迷惑,而我的大学老师并没有解释这

些出来的原由,我相信很多的朋友跟我也有类似的经历,也许现在的老师授课更偏重于应用而非原理,但是在

从事专业行业的朋友都知道,正式理论的不足,才造成了我们技能的瓶颈。所以,我觉得还是有必要讨论一下:


虚数之所以简称 i ,是因为他的英文 image (想象),从字面上就可以看出来,这个数字的开始,是数学家

假象出来的,他在出生最初的一些年里面,并没什么发展,知道后来,然们才开始发现他的魅力。

我们知道,在电路和电磁波理论里面 ,函数的模型都是正弦和余弦函数,因为他们的积分和微分都还是正弦

和余弦函数,被称作最简单的函数模型,傅里叶级数提出,任何信号(当然要符合一些收敛条件)都能分解成无

限频率的正弦函数的叠加,因此,我们在电路中的计算,就相当于是正弦和余弦函数的计算,一个正弦或余弦函数,

包括 幅度 ,频率 ,和相位这三个信息 ,在大量的计算中是稍显困难的,通常,我们在进行一个运算时,会进行一

些变换,比如等号两端先同时微分,计算后再积分,或者用几何法来代替代数法等等。同理,科学家们也找到了一个

适合正弦函数的计算方式。在这方面,虚数就表现的更好。

这里我们要用到一个伟大的公式:欧拉公式    e^ix=cosx+isinx 

欧拉公式和他的变换式将正弦和余弦函数转化为指数函数,指数函数在乘法和除法的运算中非常简便,虽然

在现实中并不存在i ,但是我们通过这种数学的变换能更快速的解答问题,这就是我们用i的目的。

下面我们看一下i的魅力(斜体字为转载): 

首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。

这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此,我们可以得到下面的关系式:

 (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去,这个式子就变为:

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i :
i^2 = (-1)

这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。
所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量。

既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。

数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。

这样,对于一个复数,我们可以用旋转量表示余弦函数的相位,用模表示余弦函数的幅值。

这里要提到(在复数域的变换中,变换后的函数并不等于原函数,因为复数只是人们想象的数,

但是在经过一些运算后,复数的一些值,和原函数计算后的值是存在确定关系的,我们经过反

变换就可得到想要的值,这就是我们使用复数的意义)

不同的应用有不同的变换方式,其中的证明过程也比较复杂,这里就不阐述了。

这篇关于浅谈虚数i在电路分析中的作用的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!


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