22. 回溯：运动员配对问题

1 描述

2 解题

<1> 全排列

分析：

1. 这个问题求的是男女运动员最佳配对法, 使得各组男女双方竞赛优势的总和达到最大，那么我们就可以把所有的搭配方案都求出来（有点像是蛮力法），然后通过比较不断更新sum的值。

2. 那么总共有几种搭配的方案呢，可以这样想，因为男女生的人数是相同的，而且都是一对一的搭配，我们把男生固定不动，通过变换女生的顺序来搭配，那么女生的顺序有多少种就会有多少种搭配方案

3. 所以问题转换成了n个女生有多少种排列方式，这不就是全排列问题吗

4. 模型
   backtrack(int t) //搜索树的第t层
   （1）. 若 t>n, 判断 记录 返回
   （2). 对 i = t : n
   (3). | 交换 x[t] 和 x[i]
   (4). | 若 满足 Constraint(t) 且 Bound(t) //约束和限界条件
   (5). | 则 backtrack(t+1);
   (6). | 交换 x[t] 和 x[i]
   执行backtrack(1)
   初始x[i]=i

5. 代码如下：

来源：https://www.cnblogs.com/henuliulei/p/10188307.html

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;int n;int p[100][100];
int q[100][100];
int arrayindex[100]; //保存的是每一个运动员对应位置的下标，从1开始
// int best[100];  //保存最好的一组搭配
int answer=0;void swap(int &a,int &b){int tmp;tmp = a;a=b;b=tmp;
}void update(){int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){sum+=p[i][arrayindex[i]]*q[arrayindex[i]][i];}if(sum>answer){answer = sum;// for(int i=1;i<=n;i++){//     best[i]= arrayindex[i];// }}
}
void backtrace(int level){if(level>n){update();}else{for(int i=level;i<=n;i++){//第level层就是从第level位开始处理，交换以后保证下一层递归里面的元素符合当前元素的后继节点if(i==level)//当前层是不需要交换的backtrace(level+1);else{swap(arrayindex[level],arrayindex[i]);backtrace(level+1);swap(arrayindex[level],arrayindex[i]);}}}
}int main(){int i,j;int level=1;// freopen("file out.txt", "r", stdin);cin>>n;// 初始化为0memset(p,0,sizeof(p));memset(q,0,sizeof(q));// memset(best,0,sizeof(best));memset(arrayindex,0,sizeof(arrayindex));for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){cin >> p[i][j];}}for(i=1;i<=n;i++){arrayindex[i]=i;for(j=1;j<=n;j++){cin >> q[i][j];}}backtrace(level);cout<<answer<<endl;// for(i=1;i<=n;i++){//     cout << best[i]<< " ";// }
}

里面涉及了DFS算法中的回溯，其实很简单，看一下代码就知道

• 这样的时间复杂度其实是很高的，因为我们要遍历每一种情况，容易超时，所以我有两个用例无法AC，那么来改进一下，加上一些筛选条件

<2> 加上剪枝

来源：https://www.cnblogs.com/luoxiaoyi/p/13854144.html

1. 开辟一个新的数组，存储这两个运动员搭配时的竞赛优势，并且以男运动员为固定，找出与他的最佳搭配并记录最大竞赛优势。随后的递归中，如果剩下的人最大竞赛优势相加无法超过以得的最大值，那么就“剪枝”，结束递归。
2. 对于P数组，每一行的最大值就是这个男生（i）和这个所有女生搭配能得到的最大竞赛优势，这个女生是（j）。
3. 这个程序就不能像上面的一样到最后再求解竞赛优势总和了，需要每一步都计算，这样才能随时得到结果进行比较
4. 代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;int p[100][100];//p男方搭配优势
int q[100][100];//q女方搭配优势
int perfect[100]; //保存的是每一个运动员对应的最佳搭配竞赛优势
int collocation[100];//用来标志这个女生有没有搭配过了，0：没有，1：搭配了
/**
*n输入的数据大小
*MAX寻找到的最大竞争优势
*sum当前累加的竞赛优势
*/
int n;
int sum=0;
int MAX=-1;///最大竞赛优势总和/**
*i 搭配到第几名男队员。
*/
void backtrace(int i){if(i==n){MAX = max(sum,MAX);return;}int sum1 = sum;//计算当前累计的竞赛优势剩余的最佳搭配是否能够超过//最大已找到的最大竞赛优势，如果不能，剪枝，结束递归。for(int j=i;j<n;j++){sum1+=perfect[j];}if(sum1<MAX)return;for(int j=0;j<n;j++){if(!collocation[j]){//如果没有被标记，则说明当前女队员没有找到搭配，进行搭配。collocation[j]=1;sum+=p[i][j];backtrace(i+1);//回溯collocation[j]=0;sum-=p[i][j];}}
}int main(){int i,j;// freopen("file out.txt", "r", stdin);cin>>n;// 初始化为0memset(p,0,sizeof(p));memset(q,0,sizeof(q));    memset(collocation,0,sizeof(collocation));memset(perfect,0,sizeof(perfect));for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){cin >> p[i][j];// perfect[i] = max(perfect[i],p[i][j]);}}for(i=0;i<n;i++){        for(j=0;j<n;j++){cin >> q[i][j];}}//固定了男生，那么现在可以用p数组来做一点改动// 现在p[i][j]是男生i和女生j合作时的配对竞赛优势// 之前保存的是男生自己的优势for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){p[i][j]=p[i][j]*q[j][i];perfect[i] = max(perfect[i],p[i][j]);}}backtrace(0);cout<<MAX<<endl;}

贴一个看到的优秀答案

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