循环小数是分数集合吗_循环小数是有理数吗？为何0.9 9的循环找不到与之对应的分数？...

提起循环小数，大家的第一印象是什么？是特殊的小数，是有理数，还是无理数？估计大家第一时间想到的就是循环小数是有理数吧，毕竟我们一接触循环小数，就被告知循环小数是有理数，而且定义也是这样定义的(循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，所以循环小数属于有理数)。一直以来，我也认为循环小数是有理数，直到0.9 9的循环的出现，让我对循环小数是有理数的观点有了不同的看法，加之以互动中给我的启发，更加让我确定了循环小数是无理数，毕竟一个无限数等于一个有限数怎么也说不过去。

2月2日，李永乐老师发了一个视频，用数学公理化论证了0.9 9的循环等于1，看了之后才知道是用集合论论证的。一看是集合论论证的，我就知道该论证不靠谱，因为人们对于集合的认识还很有限，容易把臆想代入其中，希尔伯特旅馆悖论就是臆想的结果，加之以我以前就发表过0.9 9的循环不等于1的文章，又经过系统的思考，我更加确信0.9 9的循环不等于1，于是就给了这样一条评论：“一个无限数等于一个有限数，确定不是搞笑的？”然后又跟了这样一条评论：“我感觉说0.9 9的循环与1相等的人都是来搞笑的，不服来辩”，没想到激起了热烈的讨论，为我认识循环小数是无理数提供了基础，也为我明确条件范围的重要性提供了基础。

那么，0.9 9的循环真的是无理数吗？我们该怎么证明它是一个无理数呢？0.9 9的循环真的是无理数，因为它一来找不到一个与之对应的分数，二来不可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，因为它是无限的，一旦用等比数列求和公式来化为分数，就说明0.9 9的循环就不是无限的。我们知道，等比数列求和公式有一个特点就是错位相减，这样就会有一首位不变，一末位被减，这样造成的结果就是最后总要减去一个数。假若0.9 9的循环可以用等比数列求和公式的方法(错位相减)化为分数的话，只会出现0.9 9的循环=9*0.1 1的循环=9*(1/9)*(10*0.1的循环-0.1 1的循环)=1*0.9 9的循环=0.9 9的循环，如此就陷入了一个循环出不来了，所以，0.9 9的循环是一个无理数，继而循环小数是无理数。

总结一下，循环小数是无理数，而0.9 9的循环就是上帝留给人们循环小数是无理数的提示，而人们却忽略了这个提示，拼命的说服自己循环小数是有理数，可以用一个分数表示，从而产生了错误的认识，造成这样的原因只有一个，那就是科学思维教育的缺失让人们看不到背后隐藏的条件而忽视一些不起眼的东西，科学思维是人们正确事物的基础。最后，谢谢大家的阅读。