Loj#3320-「CCO 2020」旅行商问题

正题

题目链接:https://loj.ac/p/3320

题目大意

有一张$n$个点的无向完全图，每一条边是红色或者蓝色，对于每个点$s$求从这个点出发的一条尽量短的经过所有点的路径。

$1\le n\le 2000$

解题思路

显然地猜测一下最短的长度肯定是$n$，说是找一条路径，实际上我们是能够找到一个颜色交替只有一次的环的，然后交替位置就在$s$的旁边。

我们构造一下，此时有两条不相交的路径$s\to x,t\to y$，并且两条路径上颜色都相同，一条红色一条蓝色。

我们假设$s\to x$的路径是红色，此时对于一个未加入的点$z$，如果$(x,z)$是红色或者$(y,z)$是蓝色那么直接加长路径即可。

否则也就是说$(x,z)$是蓝色且$(y,z)$是红色，我们考虑$(x,y)$之间的路径颜色，假设是红色，那么如图

我们将$y$弹出路径$t\to y$，然后加入$s\to x$后就可以再加入$z$了。

如果是蓝色同理弹另一边。

但是此时会出现两种情况：

• 蓝色路径弹出后为空了，那么此时我们再找一个新的点当做新的$t$即可，反正我们的要求是$s$不变。
• 红色路径弹出后为空了，那么此时我们将$z$作为新的$t$，然后原本的$s\to t$路径变为$s\to x$路径。

时间复杂度：$O(n^2)$

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2100;
int n,G[N][N];
char s[N];
vector<int>l,r;
int main()
{scanf("%d",&n);if(n==2){printf("2\n1 2\n2\n2 1\n");return 0;}for(int i=2;i<=n;i++){scanf("%s",s+1);for(int j=1;j<i;j++)G[i][j]=G[j][i]=(s[j]=='R');}for(int s=1;s<=n;s++){int z=s%n+1,g=0;l.clear();r.clear();l.push_back(z);r.push_back(s);g=G[s][z%n+1];for(int x=z%n+1;x!=s;x=x%n+1){if(G[r[r.size()-1]][x]==g)r.push_back(x);else if(G[l[l.size()-1]][x]==!g)l.push_back(x);else{if(G[l[l.size()-1]][r[r.size()-1]]==g){r.push_back(l[l.size()-1]);r.push_back(x);l.pop_back();if(!l.size()){x=x%n+1;if(x==s)break;l.push_back(z=x);}}else{l.push_back(r[r.size()-1]);l.push_back(x);r.pop_back();if(!r.size()){l.pop_back();l.swap(r);l.push_back(x);z=x;g=!g;}}}}printf("%d\n",n);for(int i=0;i<r.size();i++)printf("%d ",r[i]);for(int i=l.size()-1;i>=0;i--)printf("%d ",l[i]);putchar('\n');}return 0;
}