分治（详解残缺棋盘 —— Java代码实现）

分治

总体思想

• 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题
• 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k为子问题，如此递归进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来的问题的解

使用条件

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
• 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
• 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
• 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

能否利用分治法完全取决于子问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划

基本步骤

divide-and-conquer(P) {if (|P| <= n0) abhoc(P);  // 解决小规模的问题divide P into smaller subinstances P1, P2 ,... ,Pk  // 分解问题for (i = 1; i <= k; i++) {yi = divide-and-conquer(Pi);  // 递归的解各子问题return merge(y1, ... ,yk)  // 将各子问题的解合并为原问题的解}
}

案例

覆盖残缺棋盘

• 在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
• 用 (n²) / 3个三重格放置在 n × n 的缺陷棋盘上，正好能够覆盖所有方格

具体步骤：

• 划分为四个小棋盘

• 其中一个是 4 × 4 缺陷棋盘
  

• 在其他三个 4 × 4 棋盘都都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘

• 递归地覆盖四个4×4缺陷棋盘

• 在其它三个 4 × 4 棋盘都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘。

Java代码实现

package Chess;public class Chess {// 表示棋盘private int[][] board;// 表示棋盘的大小为2的多少次方private int boardSize;// 棋盘中特殊方格的位置（行号，列号）private int dr, dc;private int tile = 1;public Chess() {board = new int[1][1];dr = 0;dc = 0;boardSize = 0;}public Chess(int r, int c, int s) {int n;n = (int) Math.pow(2, s);if (n <= r || n <= c)System.out.println("初始化参数错误！");else {board = new int[n][n];dr = r;dc = c;boardSize = s;}}public void Print() {for (int i = 0; i < Math.pow(2, this.boardSize); i++) {for (int j = 0; j < Math.pow(2, this.boardSize); j++) {System.out.printf("%3d|", this.board[i][j]);}System.out.println();}}public static void main(String[] args) {// 2^2*2^2棋盘, 假设特殊方格位置为（3, 3）Chess c1 = new Chess(3, 3, 2);c1.chessBoard(0, 0, c1.dr, c1.dc, (int)Math.pow(2, c1.boardSize));c1.Print();}/*** @param tr：棋盘左上角方格的行号* @param tc：棋盘左上角方格的列号* @param dr：特殊方格所在的行号* @param dc：特殊棋盘所在的列号* @param size：2^k, 棋盘的规格为 2^k*2^k**/public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) {if (size == 1) return;// t: L型骨牌号，s分割棋盘int t = tile++;int s = size / 2;// 覆盖左上角棋盘if (dr < tr + s && dc < tc + s) {// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);} else { // 此棋盘中无特殊方格则用t号L型骨牌覆盖右下角board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);}// 覆盖右上角子棋盘if (dr < tr + s && dc >= tc + s) {// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);} else {// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左下角board[tr + s - 1][tc + s] = t;chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);}// 覆盖左下角棋盘if (dr >= tr + s && dc < tc + s) {chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);} else {// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖右上角board[tr + s][tc + s - 1] = t;chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);}// 覆盖右下角棋盘if (dr >= tr + s  && dc >= tc + s) {// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);} else {// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左上角board[tr + s][tc + s] = t;chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);}}
}

  2|  2|  3|  3|2|  1|  1|  3|4|  1|  5|  5|4|  4|  5|  0|

大整数的乘法

• 小学的方法：效率太低 O(n2)
• 分治法：
  
  X = A × 2^n/2 + B
  Y = C × 2^n/2 + D
  XY = (A × 2^n/2 + B)(C × 2^n/2 + D)
       =AC × 2ⁿ + (AD + CB) × 2^n/2 + BD
  
  实质上没有改进
  再次进行改进：
  XY = AC × 2ⁿ + (AD + CB) × 2^n/2 + BD
       =AC × 2ⁿ + ((A - B)(D - C) + AC + BD) × 2^n/2 + BD
  这样只需进行3次 n/2 位乘法
  
  T(n) = O(n^log3) = O(n^1.59) （有了较大的改进）

如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法

Strassen矩阵乘法

易知，时间复杂度为 O(n³)
分治法：

• 将矩阵A、B和C中每一矩阵都分成4个大小相等的子矩阵，则 C = AB 可写为：
  
  由此可得：
  
  
  实际复杂度还是没有变，仍然为 O(n³)

• 为了降低时间复杂度，要减少乘法的次数
  
  这样，复杂度得到了改进