计算方法的稳定性

本文主要是介绍计算方法的稳定性 | 误差来源之舍入误差 | 数值计算基本原则，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

在实际数值计算过程中，由于不可避免地存在和不断产生各种误差，因此计算结果不是绝对精确的。如果误差使得计算结果和实际情况有较大差别或者出现错误的结果，则数值计算便失去了价值和意义。因此，分析数值计算过程中误差的来源和传递规律，设法控制和减小误差。

1.误差的来源

来源：固有误差（模型误差、观测误差）和计算误差（截断误差、舍入误差）

舍入误差：

设s是r进制数，p是r进制正负整数或零，则形如
$x=s\times r^p$
并满足
$- 1 < s < 1$
的数x，称为r进制浮点数，且s和p分别称为浮点数的尾数和阶数。

任何一种计算机只能用有限的位数来表示浮点数的尾数和阶数。设
$-m\leq p\leq M$
其中 $m, M$ 为正整数，它们主要由计算机用多少位数来表示阶数而决定。如果尾数的小数尾数为t（t一般比m，M的位数大若干倍），则计算机的数系由一切阶数满足 $- 1 < s < 1$ 的t位r进制浮点数的集合F组成。可见，在计算机数系中，数的个数有限，数系中的每一个数都是有理数，且阶数相等的数以相等的距离分布在数轴的某一段上。

由于计算机数系是有限集，不仅无理数 $e,\pi$ 等不属于计算机数系，而且一些有理数（如 $1 / 3$ ）也属于计算机数系，因此常常用计算机数系中和它们接近的数来表示它们。同时，在利用计算机进行计算时，由于字长限制，参与计算的数的长度也是有限的，而由此产生的误差，称为舍入误差。

例1：

浮点数F的集合可以用以下4个参数来描述：
$\{F\}\equiv \{\beta,t,L,U\}$
其中， $\beta$ 为基数，t是精度参数，整数L与U是阶码E（范围）的下限和上限 $[L, U]$ 。

这样，F中的每一个浮点数x的值可表示为：
$x=\pm(\frac{d_1}{\beta}+\frac{d_2}{\beta^2}+\cdots+\frac{d_t}{\beta^t})·\beta^E$
式中的整数 $d_1，\cdots,d_t$ 满足 $0\leq d_t\leq \beta-1,(i=1,\cdots,t)$ ，同时又 $L\leq E\leq U$ （E是整数）。

如果对F中每个非零的x，有 $d_1\neq 0$ ，则称浮点数系F为规格化浮点数系。括号中的部分 $f=(d_1/\beta+d_2/\beta^2+\cdots +d_t/\beta^t)$ 称为尾数。我们知道，一个实数常用【整数+小数点+尾数】的形式表示，它们在计算机中对应的浮点数 $[\beta^t·f]$ 则常用某种整数表示方式（例如以原码、反码或补码的形式）存储。

例2：求十进制数系与计算机采用的二进制数系之间的差别

解：以在许多算法中常被选作步长的十进制0.1为例。在 $\beta=2$ 或者为2的幂的浮点数系中，10个0.1的步长并不刚好等于一个1.0的步长。事实上，当把 $\frac{1}{10}$ 转换成为以 $\frac{1}{2}$ 为底的幂的有限项展开式时，有：
$\frac{1}{10}=\frac{0}{2^1}+\frac{0}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{0}{2^6}+\frac{0}{2^7}+\cdots$
用下标表示数基，如果 $\beta=2$ ，则有：
$(0.1)=(0.000110011001100\cdots)_z$
如果 $\beta=8$ ，则
$(0.1)=(0.063146314\cdots)_s$
由于字长限制，等号右边的值只能取7位。很明显，当把10个这样的数相加时，其结果并不正好是1.0。这就是舍入误差造成的。所以，在计算机上进行的浮点运算（四则运算）只能是近似计算。