高数 | 【极限与等价无穷小】等价无穷小量的替换及加减替换条件

可以和这一篇配合食用。

高数 | 复合函数等价无穷小经典错误 & 两个重要极限 & 什么情况下求极限可以直接带入_西皮呦的博客-CSDN博客

一、等价无穷小量的替换的基础知识

1.定义[1]

我们都蛮喜欢用等价无穷小量的替换的，因为在记下了常见的等价无穷小量之后，这种方法我们基本不用复杂的计算。

如果用洛必达法则，我们就要算很长的时间。

2.用等价无穷小量的注意事项

但用等价无穷小量的替换需要特别注意两点（常出错的两点）

①被替换的量，必须是无穷小量（在取极限时为0）。

②被替换的量，必须是作为被乘或被除的元素，不能是被加减的元素。

③替换时必须整体替换，而不能替换局部

整体替换是什么意思呢？

其实等价无穷小量的替换，我们可以看做是原极限乘以一个极限为1的

整体替换，就是要对整个求极限的式子乘1。

这一点其实是很多人不容易注意到的。

二、深层的去理解等价无穷小量的替换

1.等价无穷小量和泰勒展开式的联系

泰勒展开式：

注：这里只写x=0处的泰勒展开，仅仅是因为懒。

我们用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，近似程度越好。

都是近似，等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢？

无穷小量的等价，不过取了泰勒展开式的第一项去等价罢了。

等价无穷小量就是精度较低的泰勒展开。

仅仅从做题的角度来说，就是你能用等价无穷小量去做的题，用泰勒展开一定可以，但反过来未必。

我们用泰勒展开的方法做一下上面的例3：

2.为什么加减时我们一般不用等价无穷小量的替换

我们清楚了等价无穷小量和泰勒展开之间的关系之后，这个问题的答案我们很容易得到。

为什么加减不行？

本质是因为加减可能会导致项的抵消，抵消后，根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，对后续的近似无能为力。

3.为什么乘除时可以无顾忌的用等价无穷小量的替换？

那为什么乘除可以呢？

因为乘除不会消去第一项近似，你等价的那个无穷小量（即泰勒展开的第一项）总会在，在就意味着轮不到你后面的高阶近似上场。

这个时候，我不需要你分子的等价无穷小量一直等价到和分母相同。

 4.什么时候可以在加减中用等价无穷小量的替换?

知道为什么不能用，那什么时候能用就很简单了——我们不让相加减的两个函数的泰勒展开式的第一项（等价的无穷小量）消去就可以了呗。

 证明如下

举例：

摘录于 “等价无穷小量的替换”的详析 - 知乎

摘录于 【图片】y=sin1/x的总结【高等数学吧】_百度贴吧