管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——应用题——路程

2023-10-24 10:50

本文主要是介绍管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——应用题——路程,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

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路程问题是根据速度、时间、路程之间的关系,研究物体相向、相背和同向运动的问题,解决路程问题常用方法:
(1)分解。将综合性的题目先分解成若干个基本题,再按其所属类型,直接利用基本数量关系解题。
(2)图示。将题中复杂的情节通过线段图清楚地表示出来,帮助分析思考。
(3)简化。对于一些较复杂的问题,解答时可以先退一步,考虑最基本的情况,复杂的问题简单化,从而找到解题途径。
(4)找规律。有些路程问题,物体运动具有一定的规律,解题时,如果能先找出运动规律,问题就能顺利破解。
(5)沟通。将路程问题和比例问题、分数问题相互沟通,利用份数来建立联系,灵活、巧妙地找到1份的量,使难题变易。

题型1 定速路程问题

考向1 巧抓等量关系
思路:根据题干信息进行问题转化,也可利用图示法找到对应的等量关系来快速求解。

考向2 巧用速度比
思路:在路程问题中,先利用比例关系来找到等量关系,再按照份数进行求解,可以将题目进行简化,在考场上赢得宝贵的时间。

考向3 路程盈亏问题
思路:盈亏问题是两次分配产生盈亏,解题方法是(盈+亏)÷ 分配差,得到分配对象有多少个。其他类似盈亏问题的应用题也可以表述为:总量固定,一个量增减,则另外一 个量减增。

考向4 整体法求路程
思路:当不好求每一段行驶的路程的时候,可以采用整体思路利用: 总时间 × 总速度 = 总路程 总时间×总速度=总路程 总时间×总速度=总路程来进行求解。

题型2 变速路程问题

考向1 同一路程变速问题
思路:解决同一路程变速问题的常用方法有:
(1)方程组法;(2)比例法;(3)法宝公式法;(4)等面积法;(5)假设法

考向2 不同路程变速向题
思路:对于不同路程的变速问题,通常要用假设转化的方法找到比例,达到化简的目的。

题型3 往返路程问题

思路:多次往返相遇问题的技巧是抓住“路程和”来建立等量关系或寻找比例关系。假设相遇次数为几次,两端的路程为S。
记住口诀:
同向往返相遇两人的路程和为 S 路程和 = 2 n S S_{路程和}=2nS S路程和=2nS
反向往返相遇两人的路程和为 S 路程和 = ( 2 n − 1 ) S S_{路程和}=(2n-1)S S路程和=(2n1)S

题型4 假设法解路程问题

思路:路程问题中路程、速度、时间三个未知量的关系是知二求一。当有两个未知量的时候,可以利用假设法(设数法)来进行求解,此时主要求的是比例。

题型5 三个对象的路程问题

考向1 两人同向,一人反向
思路:根据题目进行画图,找到三人之间路程的等量关系。

考向2 三个对象同向
思路:看到三个对象同向同起点运动,要用比例法解决。

题型6 流水行船问题

思路: V 顺 = V 静 + V 水 , V 逆 = V 静 − V 水 , V 静 = V 顺 + V 逆 2 , V 水 = V 顺 − V 逆 2 V_顺=V_静+V_水,V_逆=V_静-V_水,V静=\frac{V_顺+V_逆}{2},V_水=\frac{V_顺-V_逆}{2} V=V+VV=VVV=2V+VV=2VV
特别提醒:水中掉落物体(漂浮)时,从落水到发现与从发现到找到的时间相同!

题型7 跑圈问题

思路:记住口诀:同向时“路程差”为一圈,反向时“路程和”为一圈;起点相遇找速度比;不同起点第一次相遇和追及当成直线型,第二次开始当成“同起点”的跑圈问题。

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  1. 路程s,速度v和时间t之间的关系: s = v t , t = s v , v = s t s=vt,t=\frac{s}{v},v=\frac{s}{t} s=vtt=vsv=ts
  2. 相对速度:同向而行,相对速度= ∣ V 甲 − V 乙 ∣ |V_甲-V_乙| VV;相向而行,相对速度= V 甲 + V 乙 V_甲+V_乙 V+V
  3. 速度相同,时间比等于路程比,时间相同,速度比等于路程比;路程相同,速度比等于时间的反比
  4. 顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度
  5. 追及与相遇问题:
    ①直线型路程
    相遇: S 相遇 = S 甲 + S 乙 = ( v 甲 + v 乙 ) t S_{相遇}=S_甲+S_乙=(v_甲+v_乙)t S相遇=S+S=(v+v)t
    追及: S 追及 = S 甲 − S 乙 = ( v 甲 − v 乙 ) t S_{追及}=S_甲-S_乙=(v_甲-v_乙)t S追及=SS=(vv)t
    ②圆圈型路程
    同向运动:同一起点出发,顺时针方向跑,第一次在B点遇上( V 甲 > V 乙 V_甲>V_乙 VV)。等量关系(经历时间相同): S 甲 − S 乙 = S S_甲-S_乙=S SS=S甲乙每相遇一次,甲比乙多跑一圈,若相遇n次,则有 S 甲 − S 乙 = n S ; S 甲 S 乙 = n S + S 乙 S 乙 S_甲-S_乙=nS;\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS+S_乙}{S_乙} SS=nSSS=SnS+S
    在这里插入图片描述
    逆向运动:同一起点出发,相反方向跑,第一次在B点遇上。等量关系: S 甲 + S 乙 = S S_甲+S_乙=S S+S=S甲乙每相遇一次,甲与乙路程之和为一圈,若相遇n次,则有 S 甲 + S 乙 = n S ; V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = n S − S 乙 S 乙 S_甲+S_乙=nS;\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙} S+S=nSVV=SS=SnSS
    在这里插入图片描述

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路程问题是联考常考题型,题型难度属于中等偏上,以直线型和圆圈型两大类型为主线,以相遇与追及为模板。
1.路程s、速度v、时间t之间的关系:
s = v t , t = s v , v = s t s=vt,t=\frac{s}{v},v=\frac{s}{t} s=vtt=vsv=ts
2.对于直线型的路程问题:
(1)相遇
s 相遇 = S 1 + S 2 = v 1 t + v 2 t = ( v 1 + v 2 ) t s_{相遇}=S_1+S_2=v_1t+v_2t=(v_1+v_2)t s相遇=S1+S2=v1t+v2t=(v1+v2)t
(2)追赶
s 追及 = S 1 − S 2 = v 1 t − v 2 t = ( v 1 − v 2 ) t s_{追及}=S_1-S_2=v_1t-v_2t=(v_1-v_2)t s追及=S1S2=v1tv2t=(v1v2)t
3.对于圆圈型的路程问题:(从同一起点同时出发,周长为s,相遇一次时间为t)
反向运动: S = S 1 + S 2 = v 1 + v 2 t = ( v 1 + v 2 ) t S=S_1+S_2=v_1+v_2t=(v_1+v_2)t S=S1+S2=v1+v2t=(v1+v2)t
同向运动: S = S 1 − S 2 = v 1 t − v 2 t = ( v 1 − v 2 ) t S=S_1-S_2=v_1t-v_2t=(v_1-v_2)t S=S1S2=v1tv2t=(v1v2)t
4.顺水、逆水问题:
v 顺水 = v 船 + v 水 ; v 逆水 = v 船 − v 水 v_{顺水}=v_船+v_水;v_{逆水}=v_船-v_水 v顺水=v+vv逆水=vv
5.相对速度(两个物体运动时,可将一个作为参照物,看成相对静止的)
同向运动: v 同向 = v 1 − v 2 v_{同向}=v_1-v_2 v同向=v1v2
相向运动: v 相向 = v 1 + v 2 v_{相向}=v_1+v_2 v相向=v1+v2
【评注】路程问题主要涉及路程、时间、速度三者的关系,一般以时间或路程为等量关系来列方程路程又分为直线型、圆圈型、顺水逆水、相对速度等题型。
此外,路程问题可延伸至工程问题:路程可以看做工作量,时间可以看做工作时间,速度可以看做工作效率。

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(一)直线路程问题
一、考点讲解

  1. 基本公式
    s = v t , v = s t , t = s v s=vt,v=\frac{s}{t},t=\frac{s}{v} s=vtv=tst=vs
  2. 直线相遇公式
    S 相遇 = S 1 + S 2 = v 1 t + v 2 t = ( v 1 + v 2 ) t S_{相遇}=S_1+S_2=v_1t+v_2t=(v_1+v_2)t S相遇=S1+S2=v1t+v2t=(v1+v2)t
  3. 直线追及公式
    S 追及 = S 1 − S 2 = v 1 t − v 2 t = ( v 1 − v 2 ) t S_{追及}=S_1-S_2=v_1t-v_2t=(v_1-v_2)t S追及=S1S2=v1tv2t=(v1v2)t

二、考试解读

  1. 路程问题在考试中出现的频率较高,做路程问题,首先根据题意要画出示意图,标注已知对象的相关信息,其次建立等量关系,常用的是时间或路程为基本等量式。
  2. 路程问题的重点在于设未知数和找等量关系,尤其多对象运动问题,对考生要求较高。
  3. 难点在于变速运动的路程问题及图像的路程问题。
  4. 考试频率级别:高。

三、命题方向

  1. 直线相遇
    思路:两车相向而行,相遇时间=路程和÷速度和或相遇时间=路程差÷速度差。
  2. 直线往返相遇
    思路:对于多次往返相遇的题目,要根据两人的路程关系列方程求解。
  3. 直线追及
    思路:两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)做同向运动,在后面的行进速度要快些,在前面的行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫作追及问题,根据追及时间与路程的关系列方程,所用公式为:路程差 = 速度差×追及时间.
  4. 直线变速
    思路:变速运动难度较大,主要根据速度变化前后的时间关系列方程。

(二)水中行船问题
一、考点讲解

  1. 船顺流时速度: v 顺 = v 船 + v 水 v_顺=v_船+v_水 v=v+v
  2. 船逆流时速度: v 逆 = v 船 − v 水 v_逆=v_船-v_水 v=vv

二、考试解读

  1. 水中行船问题要看清楚水流方向,分清是顺水还是逆水。
  2. 难点在于水流何时对船有影响。
  3. 考试频率级别:中。

三、命题方向

  1. 与水速有关
    思路:单一物体在水上运动时,时间与水速有关。
  2. 与水速无关
    思路:多个物体在水中运动,无论是相遇还是追及,都与水速无关。因为水速抵消了。

(三)相对速度问题
一、考点讲解

  1. 相对速度: v = v 1 + v 2 v=v_1+v_2 v=v1+v2
  2. 相对速度: v = v 1 − v 2 v=v_1-v_2 v=v1v2

二、考试解读

  1. 当出现多个物体同时运动时,将某个物体看成“静止”的,当作参照物,利用相对速度分析会比较简便。
  2. 路程问题的难点在于运动的方向,对考生要求较高。
  3. 考试频率级别:低。

三、命题方向

  1. 队伍行军
    思路:可以将队伍看成静止的,通讯员转化为相对运动分析即可。
  2. 火车与行人
    思路:将行人看成静止的,然后火车转化为相对运动分析即可。
  3. 发车间隔
    思路:将行人看成静止的,然后公交车转化为相对运动分析即可。

(四)火车过桥问题

一、考点讲解
火车过桥时间: t = l 车 + l 桥 v t=\frac{l_车+l_桥}{v} t=vl+l
二、考试解读

  1. 火车过桥比较简单,按公式计算即可。
  2. 由于火车速度不变,时间与长度成比例,采用比例法分析比较简单。
  3. 考试频率级别:低。

三、命题方向

  1. 火车过桥
    思路:根据公式 t = l 车 + l 桥 v t=\frac{l_车+l_桥}{v} t=vl+l,列方程求解分析。

(五)圆圈路程问题

一、考点讲解

  1. 同向同起点:甲乙每相遇一次,甲比乙多跑一圈
    相遇时的等量关系: s 甲 − s 乙 = s s_甲-s_乙=s ss=s(经历时间相同)
    甲、乙每相遇一次,甲比乙多跑一圈,若相遇n次,则有 s 甲 − s 乙 = n s s_甲-s_乙=ns ss=ns
    v 甲 v 乙 = s 甲 s 乙 = s 乙 + n s s 乙 = 1 + n s s 乙 \frac{v_甲}{v_乙}=\frac{s_甲}{s_乙}=\frac{s_乙+ns}{s_乙}=1+\frac{ns}{s_乙} vv=ss=ss+ns=1+sns

  2. 反向同起点:每相遇一次,甲与乙路程之和为一圈
    相遇时的等量关系: s 甲 + s 乙 = s s_甲+s_乙=s s+s=s
    每相遇一次,甲与乙路程之和为一圈,若相遇n次有 s 甲 + s 乙 = n s s_甲+s_乙=ns s+s=ns
    v 甲 v 乙 = s 甲 s 乙 = n s − s 乙 s 乙 = n s s 乙 − 1 \frac{v_甲}{v_乙}=\frac{s_甲}{s_乙}=\frac{ns-s_乙}{s_乙}=\frac{ns}{s_乙}-1 vv=ss=snss=sns1

【解题技巧】在做圆圈型追及相遇题时,求第k次相遇情况,可以将第k-1次相遇看成起点进行分析考虑。

二、考试解读

  1. 圆圈型路程问题比较难,容易出错,但考试只要求掌握定速的圆圈型问题。
  2. 难点在于运动方向以及是否同起点运动,对考生要求较高。
  3. 考试频率级别:低。

三、命题方向

  1. 同起点
    思路:如果起点相同,当同向运动时,每相遇一次,路程差为一圈;当反向运动时,每相遇一次,路程和为一圈。
  2. 不同起点
    思路:如果两人不同起点,则第一次相遇后,就变成同起点的运动了。

(六)图像路程问题

一、考点讲解
s = v t , v = s t , t = s v s=vt,v=\frac{s}{t},t=\frac{s}{v} s=vtv=tst=vs

  1. v-s 图
    (1)匀速运动(见图2-3)
    (2)变速运动(见图2-4,图2-5)
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  2. s-t 图
    (1)匀速运动(见图2-6,图2-7)
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    (2)加速运动(见图2-11,图2-12)
    在这里插入图片描述

二、考试解读

  1. 利用图像描述物体的速度、路程、时间关系。首先要看清横坐标、纵坐标分别表示什么物理量,再从图像中读出速度、路程或时间的大小。
  2. 路程问题的难点在于根据图像区分是匀速运动还是非匀速运动。
  3. 考试频率级别:低。

三、命题方向

  1. v-s 图
    思路:对于v-s 图,如果图像是水平的直线,则表示匀速运动,其他直线或曲线表示变速运动。

  2. s-t 图
    思路:对于s-t 图,如果图像为直线时,表示匀速运动,直线的斜率表示速度,当斜率为0时,物体静止;如果图像为曲线,表示变速运动。

  3. v-t 图
    思路:对于v-t 图,当图像为直线时,直线的斜率表示加速度,当斜率为零时,表示匀速运动,斜率不为零时,表示匀变速运动;当图像为曲线时,表示非匀变速运动。

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一、普通匀速直线运动问题:路程=速度×时间;平均速度=总路程÷总时间
【解题提示】根据题意画出简单的示意图,设未知数列方程求解,同时注意路程、时间、速度三者中的恒定量,将问题转化为比例关系求解。
注:行程问题中常用的比例关系:
① 时间相同时,速度比等于路程比;
② 速度相同时,时间比等于路程比;
③ 路程相同时,速度比等于时间的反比。

二、行程问题中的相遇、追赶题型
1 直线型相遇、追赶问题
【解题提示】此类问题比较常见,根据题意画出简单示意图,抓住等量关系(一般是时间和路程),列方程求解。
(1)同时相向而行
问题表述:甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行,在C点相遇会合。
等量关系 S 甲 + S 乙 = S A B ⇒ ( V 甲 + V 乙 ) t = S A B , V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = A C B C ( 时间相同 ) S_甲+S_乙=S_{AB}\Rightarrow(V_甲+V_乙)t=S_{AB},\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AC}{BC}(时间相同) S+S=SAB(V+V)t=SABVV=SS=BCAC(时间相同)
(2)追赶问题
问题表述:甲、乙相距AC时甲追赶乙,并最终在B点追上乙。
等量关系 S 甲 − S 乙 = S A C ⇒ ( V 甲 − V 乙 ) t = S A C , V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = A B B C ( 时间相同 ) S_甲-S_乙=S_{AC}\Rightarrow(V_甲-V_乙)t=S_{AC},\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AB}{BC}(时间相同) SS=SAC(VV)t=SACVV=SS=BCAB(时间相同)

2.圆圈型(操场)相遇、追赶问题
(1)同向(设圆周长为S)
等量关系 S 甲 − S 乙 = S S_甲-S_乙=S SS=S(假设甲的速度较快)
如图2-3,甲 、乙每相遇一次,甲比乙多跑一圈,若n次相遇,则有 S 甲 − S 乙 = n S , V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = S 乙 + n S S 乙 S_甲-S_乙=nS,\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{S_乙+nS}{S_乙} SS=nSVV=SS=SS+nS
(2)逆向
等量关系 S 甲 + S 乙 = S S_甲+S_乙=S S+S=S
如图2-4,每次相遇,甲、乙的路程之和为一圈,若相遇n次,则有 S 甲 + S 乙 = n S , V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = n S − S 乙 S 乙 S_甲+S_乙=nS,\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙} SS=nSVV=SS=SnSS
【解题技巧】在做圆圈型追及相遇问题时,求第k次相遇情况,可以将(k-1)次相遇看成起点进行分析考虑。
三、船在水中航行问题
V 顺水 = V 船 + V 水 V_{顺水}=V_{船}+V_{水} V顺水=V+V V 逆水 = V 船 − V 水 V_{逆水}=V_{船}-V_{水} V逆水=VV V 船 = V 顺水 + V 逆水 2 V_{船}=\frac{V_{顺水}+V_{逆水}}{2} V=2V顺水+V逆水 V 水 = V 顺水 − V 逆水 2 V_{水}=\frac{V_{顺水}-V_{逆水}}{2} V=2V顺水V逆水
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  1. 基本公式
    路程 s = 速度 v × 时间 t , 路程s=速度v×时间t, 路程s=速度v×时间t 速度 v = 路程 s 时间 t , 速度v=\frac{路程s}{时间t}, 速度v=时间t路程s 时间 t = 路程 s 速度 v 时间t=\frac{路程s}{速度v} 时间t=速度v路程s

  2. 相遇和追及
    相向运动的两物体相对速度为两速度之和,同向运动的两物体相对速度为两速度之差。
    相遇时间 = 相遇距离 速度之和 v 1 + v 2 相遇时间=\frac{相遇距离}{速度之和v_1+v_2} 相遇时间=速度之和v1+v2相遇距离
    追及时间 = 追及距离 速度之差 v 1 − v 2 追及时间=\frac{追及距离}{速度之差v_1-v_2} 追及时间=速度之差v1v2追及距离

  3. 环形道路
    两人自同一起点沿环形跑道相向/同向行进,直至相遇,有如下等量关系:
    相向时:甲路程 + 乙路程 = 环形周长
    同向时:快者路程 ― 慢者路程 = 环形周长
    事实上,相向跑圈每相遇一次,两人路程之和为环形跑道周长;同向跑圈每相遇一次,快者比慢者多跑一个环形跑道周长。

  4. 顺水/逆水行船
    逆水行船时:实际速度为 v 船 − v 水 v_船-v_水 vv;顺水行船是:实际速度为 v 船 + v 水 v_船+v_水 v+v

  5. 火车错车/过桥过洞
    相向错车: t = 车长之和 l 1 + l 2 速度之和 v 1 + v 2 t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之和v_1+v_2} t=速度之和v1+v2车长之和l1+l2
    同向超车: t = 车长之和 l 1 + l 2 速度之差 v 1 − v 2 t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之差v_1-v_2} t=速度之差v1v2车长之和l1+l2
    火车过桥/过山洞: t = l 山洞 / 桥梁 + l 火车 v t=\frac{l_{山洞/桥梁}+l_{火车}}{v} t=vl山洞/桥梁+l火车

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  1. 相遇问题,反向行驶,第一次遇见路程和等于总路程
    相遇时间=总路程 ÷ (甲速 + 乙速)
    总路程 = (甲速 + 乙速)× 相遇时间
  2. 追及问题,每追上一次表示速度快的比慢的多跑一圈
    追及时间 = 追及路程 ÷ (快速 - 慢速)
    追及路程 = (快速 - 慢速)× 追及时间

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解题提示根据题意画图,找等量关系(一般是时间和路程),列方程求解。
常见类型有:
类型一:
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A 的行程 + B 的行程 = 甲、乙两地的距离
相遇过程:相遇时间= 距离之和 速度之和 \frac{距离之和}{速度之和} 速度之和距离之和

类型二:同向
(圆圈型)每相遇一次,甲比乙多跑一圈
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类型三:逆向

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解题技巧:在做圆圈型追及相遇题时,在求第 k 次相遇情况时,可以将 k-1 次相遇看成起点进行分析考虑。

🐟——应用题——路程,工程

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🐟——推导

变速公式:
【证明】设同一段路程s,先后用 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1v2两段速度通过,时间差为△t ,则 s v 1 − s v 2 = △ t ⇒ s ( v 2 − v 1 ) v 1 v 2 = △ t ⇒ s ⋅ △ v v 1 v 2 = △ t \frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=△t\Rightarrow\frac{s(v_2-v_1)}{v_1v_2}=△t\Rightarrow\frac{s·△v}{v_1v_2}=△t v1sv2s=tv1v2s(v2v1)=tv1v2sv=t,即 v 1 v 2 = s ⋅ △ v △ t v_1v_2=\frac{s·△v}{△t} v1v2=tsv

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