文献阅读 FarSense: CSI Ratio（关于CSI商的解析）

本文主要是介绍文献阅读 FarSense: CSI Ratio（关于CSI商的解析），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

原始CSI模型

信道状态信息 (CSI) 是来自所有路径的信号的叠加。在数学上，CSI 可以表示为：
$t)=\sum_{i=1}^{L} A_{i} e^{-j 2 \pi \frac{d_{i}(t)}{\lambda}}$
根据[1]，路径可以分为静态路径和动态路径。不失一般性，假设只有一条由人体反射的动态路径，而静态分量是由环境中静态物体的视距传播和其他反射路径组成。因此，CSI 可以重写为：
$t)=H_{s}(f, t)+H_{d}(f, t)=H_{s}(f, t)+A(f, t) e^{-j 2 \pi \frac{d(t)}{\lambda}}$
其中 $H_{s}(f, t)$ 是静态分量, $e^{-j 2 \pi \frac{d(t)}{\lambda}}$ 和 $d (t)$ 分别是信号幅度，信号相位和动态路径的长度变化。
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当人体目标移动短距离时，动态分量 $A (f, t)$ 的信号幅度可以认为是一个常数。这是因为信号幅度是由路径长度决定的(信号幅度与动态路径的长度成反比)。理想情况下，当 $d (t)$ 长度增加一个波长, CSI $(H (f, t)$ ) 顺时针旋转 $\pi$ ，如图1所示。
但对于商品 WiFi 设备，由于发送器和接收器不是时间同步的，因此每个 CSI 样本中都有一个随时间变化的随机相位偏移 $e^{-j \theta_{\text {offset } }}$ ，如下所示：
$t)=e^{-j \theta_{o f f s e t}}\left(H_{s}(f, t)+A(f, t) e^{-j 2 \pi \frac{d(t)}{\lambda}}\right)$
有了这个随机相位偏移，复平面中运动引起的 CSI 变化不再是一个圆,此时CSI如图2所示：
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关于scaling、rotation和translation的定义

scaling $\mapsto \alpha H(f, t), \alpha \in \mathbb{R})$ ,
rotation $\left(H(f, t) \mapsto e^{i \theta} H(f, t), \theta \in \mathbb{R}\right)$
translation $\mapsto H(f, t)+\beta, \beta \in \mathbb{C})$

当对 $H (f, t)$ 进行scaling、rotation、 translation时，不会改变 $H (f, t)$ 的几何形状和旋转方向，如图3所示：
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CSI商模型

首先明确两个点：

①对于商品 WiFi 卡，例如广泛使用的 Intel 5300，Wi-Fi 卡上不同天线的时变相位偏移相同，因为它们共享相同的 RF 振荡器 [2, 3]。

②当目标移动短距离（几厘米）时，两个附近天线处的两个反射路径长度之差 $d_{2}(t)-d_{1}(t)$ 可以被认为是一个常数 $\Delta d$ [4]。

对第一根天线和第二根天线的CSI做比值得到CSI商：
$\begin{aligned} \frac{H_{1}(f, t)}{H_{2}(f, t)} &=\frac{e^{-j \theta_{o f f s e t}}\left(H_{s, 1}+A_{1} e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)}{\lambda}}\right)}{e^{-j \theta_{o f f s e t}}\left(H_{s, 2}+A_{2} e^{-j 2 \pi \frac{d_{2}(t)}{\lambda}}\right)} \\ &=\frac{A_{1} e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)}{\lambda}}+H_{s, 1}}{A_{2} e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)+\Delta d}{\lambda}}+H_{s, 2}} \\ &=\frac{A_{1} e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)}{\lambda}}+H_{s, 1}}{A_{2} e^{-j 2 \pi \frac{\Delta d}{\lambda}} e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)}{\lambda}}+H_{s, 2}} \end{aligned}$
其中， $H_{1}(f, t)$ 是第一根天线的 CSI， $H_{2}(f, t)$ 是第二根天线的 CSI。为了简化方程以便于说明，我们以下表述： $A_{1}=\mathcal{A}, H_{s, 1}=\mathcal{B}$ , $A_{2} e^{-j 2 \pi \frac{\Delta d}{\lambda}}=C$ and $H_{s, 2}=\mathcal{D}$ ;

其中， $e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)}{\lambda}}=Z$ 表示当 $d_{1}(t)$ 增加时，顺时针旋转的单位圆，然后我们可以简化方程式：
$\frac{H_{1}(f, t)}{H_{2}(f, t)}=\frac{\mathcal{A Z}+\mathcal{B}}{C Z+\mathcal{D}}$
这正是 Mobius 变换[5]的形式，前提是 $\mathcal{B} C-\mathcal{A} \mathcal{D} \neq 0$ 。我们进一步将其分解为以下形式：
$\frac{H_{1}(f, t)}{H_{2}(f, t)}=\frac{\mathcal{B C}-\mathcal{A} \mathcal{D}}{C^{2}} \cdot \frac{1}{Z+\frac{\mathcal{D}}{C}}+\frac{\mathcal{A}}{C}$
因此，方程式中的映射由以下变换组成[6]:

(i) $\mapsto \mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{\mathcal{C}}$ , 是加 $\frac{\mathcal{D}}{\mathcal{C}}$ 的translation
(ii) $\mapsto \frac{1}{Z}$ , 是复数反演(复数的倒数)
(iii) $\mathcal{Z} \mapsto \frac{\mathcal{B C}-\mathcal{A D}}{C^{2}} \mathcal{Z}$ , 是与复数 $\frac{\mathcal{B C}-\mathcal{A D}}{C^{2}}$ 的相乘
(iv) $\mathcal{Z} \mapsto \mathcal{Z}+\frac{\mathcal{A}}{C}$ , 是加 $\frac{\mathcal{A}}{\mathcal{C}}$ 的translation

在操作(iii)中的scaling和rotation ，操作(i)和(iv) 中的translation不会改变 $H (f, t)$ 的几何形状和旋转方向。因此，重点分析操作(ii)示，即复数反演运算 $\left(Z \mapsto \frac{1}{Z}\right)$ 是理解 CSI 商（莫比乌斯变换）效果的关键。

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在数学上，复数 $e^{i \theta}$ 的反演(倒数)为 $\frac{1}{r} e^{-i \theta}$ ：新模长是原模长的倒数，新相位与原相位相反。图4展示了如何将单位圆外的一点 $z$ 映射到单位圆内的点 $\frac{1}{z}$ 。(1)将 $e^{i \theta}$ 移动到与 $z$ 方向相同但新模长是原模长的倒数的点 $\frac{1}{r} e^{i \theta}$ (2)应用共轭运算（即相对于实轴对称）到点 $\frac{1}{r} e^{-i \theta}$ 。
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接下来，我们研究复数反演（记为 $\tilde{\mathcal{Z}}$ ）对顺时针圆 $\mathcal{Z}$ 的影响，如图 6和图7所示。复数反演不会改变 $\mathcal{Z}$ 的形状[6] 。但是，它可能会改变 $\mathcal{Z}$ 的旋转方向。 $\tilde{\mathcal{Z}}$ 是否与 $\mathcal{Z}$ 方向相同取决于原点 (0, 0) 是否在 $\mathcal{Z}$ 内部。如图6所示，如果 (0, 0) 不在 $\mathcal{Z}$ 内，则 $\tilde{\mathcal{Z}}$ 与 $\mathcal{Z}$ 具有相同的旋转方向。如图7所示，如果 (0, 0) 在 $\mathcal{Z}$ 内，则 $\tilde{\mathcal{Z}}$ 与 $\mathcal{Z}$ 具有相反的旋转方向。

将复数反演应用到 $\mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{C}$ ，其中 $Z=e^{-j 2 \pi \frac{d_{1}(t)}{\lambda}}$ 表示单位圆， $\frac{\mathcal{D}}{\mathcal{C}}$ 是translation。因此，如果 $\left|\frac{\mathcal{D}}{C}\right|=\left|\frac{H_{s, 2}}{A_{2}}\right|>1$ (当静态成分大于动态成分时，此式一定成立)， $\mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{C}$ 则不包含(0,0),所以 $\frac{1}{Z+\frac{D}{C}}$ 与 $\mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{C}$ 具有相同的旋转方向。

由于scaling, rotation and translation 不会改变旋转方向，因此CSI商 $\frac{H_{1}(f, t)}{H_{2}(f, t)}=\frac{\mathcal{B C}-\mathcal{A D}}{C^{2}} \cdot \frac{1}{Z+\frac{\mathcal{D}}{C}}+\frac{\mathcal{A}}{C}$ 具有与 $\frac{1}{Z+\frac{D}{C}}$ 和（ $\mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{C}$ ）相同的旋转方向。

总而言之：

当 LoS 路径信号未被遮挡时，CSI 商具有与 $\mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{C}$ 相同的旋转方向，即动态路径长度增大，CSI商顺时针旋转
当 LoS 路径信号被物体衰减时，CSI 商具有与 $\mathcal{Z}+\frac{\mathcal{D}}{C}$ 相反的旋转方向，即动态路径长度增大，CSI商逆时针旋转

参考文献

[1] Understanding and modeling of wifi signal based human activity recognition
[2] Spotfi: Decimeter level localization using wifi
[3] Dynamic-music: accurate device-free indoor localization
[4] FullBreathe: Full Human Respiration Detection Exploiting Complementarity of CSI Phase and Amplitude of WiFi Signals
[5] Geometry of complex numbers: circle geometry, Moebius transformation, non-euclidean geometry
[6] Visual complex analysis

这篇关于文献阅读 FarSense: CSI Ratio（关于CSI商的解析）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！