Tarjan全家桶之强联通分量学习记录

序言

刚刚写完了双联通分量（吮指原味鸡），我就跑来写强连通分量（香辣鸡翅）了是不是很贴心（美味）。
（大家都知道你是来填坑的。）

码完这篇我就去学习国家历史了。
这篇Blog可以膜百科了。
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还可以膜dalao了。

前置技能

强连通

在有向图$G(V,E)$中，若点$u,v$能够互相到达，则称这两点是强连通的。

性质

有一个显然的性质：若两点强连通，那么这两点必定在同一个环内。

强连通图

若在有向图$G(V,E)$中，任意两点都是强连通的，则称图$G(V,E)$是强连通图。

强连通分量

在有向图$G(V,E)$中，称其极大强连通子图为强连通分量。强连通图本身就是一个强连通分量。
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Tarjan

在Tarjan全家桶中，最广为人知的就是强连通分量算法了，采用的是Depth-First-Search（大法师）。
我们引入两个时间戳：
$dfn(u)$：每个点在DFS中被搜索到的次序。（第几个被搜到）
$low(u)$：在点$u$的DFS子树中，搜索到的最小$dfn(v)$。（包括返祖边指向点）
根据定义，可给出求解伪代码：

Tarjan(当前点u)
{dfn(u) = low(u) = ++cntfor (u的出边(u, v)){if (dfn(v) = 0)//v点没有被搜索过{点v在点u的子树中Tarjan(v)low(u) = min(low(u), low(v))}else{点v不在点u的子树中low(u) = min(low(u), dfn(v))}}
}

那如何求解强连通分量呢？

延续上面的过程，在遍历图时，将搜索到的点压入栈中。
显然，对于点$u$的DFS子树，若其是原图的强连通分量，那么$dfn(u)=low(u)$。
肯定有好奇的小宝宝问为什么结论是正确的。

证明：
若$dfn(u)>low(u)$，则说明在点$u$的子树中存在指向点$u$祖先的返祖边，不满足极大这一条件。

所以，当$dfn(u)=low(u)$时，弹出栈中元素到 u u <script type="math/tex" id="MathJax-Element-304">u</script>，即为原图的一个强连通分量。