质因数的个数 九度教程第54题 分解素因数

本文主要是介绍质因数的个数 九度教程第54题 分解素因数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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求正整数N(N>1)的质因数的个数。 相同的质因数需要重复计算。如120=2*2*2*3*5，共有5个质因数。
输入描述:
可能有多组测试数据，每组测试数据的输入是一个正整数N，(1<N<10^9)。
输出描述:
对于每组数据，输出N的质因数的个数。
示例1
输入
120
输出
5

题目大意：
对输入的某个整数分解素因数，并计算出每个素因数所对应的幂指数。即对给定整数x进行素因数分解
$$x=p_1^{e1}\ast p_2^{e2}\ast ...p_n^{en}$$
其中p₁、p₂…p_n都是素数，本题即求每个素因数所对应的幂指数之和。
解题思路：
首先我们先使用素数筛法选出所有可能在题面所给定的数据范围内成为素因数的素数。在程序输入待处理数字n后，依次遍历所有小于n的素数，判断其是否为n的因数。若是，则需进一步确定其幂指数。

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int prime[100001];
bool mark[100001];
int mycount;
void init() {//使用素数筛法筛选出2到100000内的所有素数for (int i = 1; i <= 100000; i++) {mark[i] = false;}mycount = 1;for (int i = 2; i <= 100000; i++) {if (mark[i]) {continue;}prime[mycount++] = i;for (int j = i * 2; j <= 100000; j += i) {mark[j] = true;}}}
int main() {init();int nn;int time;while (cin >> nn) {int ansPrime[30];//按顺序保存分解出的素因数int ansSize = 0;//分解出的素因数个数int ansNum[30];//保存分解出的素因数对应的幂指数for (int i = 1; i < mycount; i++) {if (nn%prime[i] == 0) {ansPrime[ansSize] = prime[i];ansNum[ansSize] = 0;//将幂指数初始化为0while (nn%prime[i] == 0) {ansNum[ansSize]++;nn /= prime[i];}ansSize++;//素因数个数增加1}if (nn == 1) break;//若已经被分解为1，则分解提前终止}if (nn != 1) {//若测试完2到100000内所有的素因数，n仍未被分解至1，则剩余的因数一定是n的一个大于100000的素因数ansPrime[ansSize] = nn;//记录该大素因数ansNum[ansSize++] = 1;//其幂指数只可能为1}int answer = 0;for (int i = 0; i < ansSize; i++) {answer += ansNum[i];}cout << answer << endl;}return 0;
}

首先我们来说明为什么素数筛法只需筛到100000即可，而不是与输入数据同规模的1000000000。这样处理的理论依据是：n至多只存在一个大于sqrt(n)的素因数（否则两个大于sqrt(n)的数相乘即大于n）。这样只需将n所有小于sqrt(n)的素数从n中除去，剩余部分必为该大素因数。所以不必依次测试sqrt(n)到n的素数，而是在处理完小于sqrt(n)的素因数时就能确定是否存在该大素因数，若存在其幂指数也必为1.

完成素因数分解后同样可以确定被分解整数因数的个数为（e1+1)*（e2+1)*…*(en+1)，即由所有的素因数不同组合数得出，幂指数加1是表示不选择该素因数，是由于这里算上了因数1，所以最终结果没有减去1.

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