【ROOT from CERN】——TFunction绘制函数图像

ROOT使用TFunction类来绘制函数图像，并且用作含参数函数对于TGraph与THistogram的拟合。本文只总结了官网上部分代码和最最常用的构造函数等。如果能读透做很大一部分图像完全没问题。有些部分我会使用英语。

一、继承关系-Inheritance

如图所示，TF1为一维函数图像，TF2为二维函数图像，TF12为二维函数图像沿x或y的一维图像，TF3为三维函数图像。

二、构造函数-Constructor

1、TF1

TF1::TF1 	( 	const char *  	name,const char *  	formula,Double_t  	xmin,Double_t  	xmax,Option_t *  	option )

在我们调用该构造函数时，通常不对最后一个Option_t*的变量进行赋值。C++的构造函数允许这样做，其本身具有默认初始化的值。关于最后一个变量的作用，不在这里展开，但是我把source文件里的注释放在下边（可以忽略）。暂时用不到，我也没完全弄懂。更多的构造函数形式，我会把参考文档附在文尾。

Same constructor as above (for TFormula based function) but passing an option strings
/// available options
/// VEC - vectorize the formula expressions (not possible for lambda based expressions)
/// NL  - function is not stores in the global list of functions
/// GL  - function will be always stored in the global list of functions ,
///        independently of the global setting of TF1::DefaultAddToGlobalList

（1）Expression using variable x and no parameters

Case 1: inline expression using standard C++ functions/operators

插入一个解释，此处的inline关键字被称为内联。用该关键字修饰的函数将被C++编译器解释为内联函数。您可以在《C++ Prime Plus》的8.1章节“C++内联函数”找到该语法的详细解释。

在本示例内，我们将创建一个C++标准库所拥有的函数，并且表达式内没有参数。

Example：

TF1 *fa1 = new TF1("fa1","sin(x)/x",0,10);
fa1->Draw();

Case 2: inline expression using a ROOT function (e.g. from TMath) without parameters

在本示例内，我们将创建一个TMath库所拥有的函数，并且表达式内没有参数。

Example：

TF1 *fa2 = new TF1("fa2","TMath::DiLog(x)",0,10);
fa2->Draw();

Case 3: inline expression using a user defined CLING function by name

此处的CLING为ROOT开发的C++解释器的名字。就是在Terminal中输入root打开的“ROOT的环境”，在该解释器环境中，C++将具有类似Python进行步进解释的性质。

在本示例内，我们将自定义一个C++函数，其返回表达式的函数值，并且表达式内没有参数。

Example：

Double_t myFunc(double x) { return x+sin(x); }
....
TF1 *fa3 = new TF1("fa3","myFunc(x)",-3,5);
fa3->Draw();

（2）Expression using variable x with parameters

Case 1: inline expression using standard C++ functions/operators

在本示例内，我们将创建一个C++标准库所拥有的函数，并且表达式内含有参数。该参数运用方括号和数字表示，并需要对参数进行初始化。

Example：

TF1 *fa = new TF1("fa","[0]*x*sin([1]*x)",-3,3);//This creates a function of variable x with 2 parameters. The parameters must be initialized via:
//fa->SetParameter(0,value_first_parameter);
//fa->SetParameter(1,value_second_parameter);
fa->SetParameter(0,1);
fa->SetParameter(1,1);//Parameters may be given a name:
fa->SetParName(0,"Constant");

特别地，对于TMath内置的一些含参函数，我们进行函数的四则运算形成的新的函数，其参数列表的排列我们拥有下列的形式：

Example：

TF1 *fb = new TF1("fb","gaus(0)*expo(3)",0,10);

gaus(0) is a substitute for[0]*exp(-0.5*((x-[1])/[2])**2) and (0) means start numbering parameters at 0.expo(3) is a substitute for exp([3]+[4]*x).

该示例内所引用的高斯函数和指数函数分别具有三个参数和两个参数。分别占据参数列表的0,1,2和3,4的位置，小括号内的数字表示本函数参数的起始位置。但是这两个函数可以归为C++的标准库吗，先放一个问号在这。

Case 2: inline expression using TMath functions with parameters

在本示例内，我们将创建一个TMath库所拥有的函数，并且表达式内含有参数。

TF1 *fb2 = new TF1("fa3","TMath::Landau(x,[0],[1],0)",-5,10);
//fb2->SetParameters(value_first_parameter,value_second_parameter);
fb2->SetParameters(0.2,1.3);
fb2->Draw();

关于TMath库的函数，之后再出一篇吧。

（3）A lambda expression with variables and parameters

这是ROOT提供的一种并不常用的构造方式，各位大可忽略，接着我会介绍一种更加普遍的形式。

TF1 f1("f1","sin(x)",0,10);
TF1 f2("f2","cos(x)",0,10);
TF1 fsum("f1","[&](double *x, double *p){ return p[0]*f1(x) + p[1]*f2(x); }",0,10,2);

（4）A general C function with parameters

本形式是含参函数TF1类构造的一种相当常见而且重要的形式，该形式常被用于函数的拟合。该示例给出的就是一个拟合脚本。注意引用自定义函数名时不需要加引号。

// Macro myfunc.C
Double_t myfunction(Double_t *x, Double_t *par)
{Float_t xx =x[0];Double_t f = TMath::Abs(par[0]*sin(par[1]*xx)/xx);return f;
}
void myfunc()
{TF1 *f1 = new TF1("myfunc",myfunction,0,10,2);f1->SetParameters(2,1);f1->SetParNames("constant","coefficient");f1->Draw();
}
void myfit()
{TH1F *h1=new TH1F("h1","test",100,0,10);h1->FillRandom("myfunc",20000);TF1 *f1 = (TF1 *)gROOT->GetFunction("myfunc");f1->SetParameters(800,1);h1->Fit("myfunc");
}

该示例就是将本节（3）中的表达式单独拆分为一个函数Double_t myfunction(Double_t *x, Double_t *par)，该函数拥有两个参数，分别是自变量列表和参数列表。关于函数的拟合我会在之后单独写一篇文章。

2、TF2

TF2::TF2 	( 	const char *  	name,const char *  	formula,Double_t  	xmin = 0,Double_t  	xmax = 1,Double_t  	ymin = 0,Double_t  	ymax = 1,Option_t *  	opt = nullptr ) 	

此处的opt我们平时也忽略，这里不再展开。

（1）Expression using variables x and y

与上述TF1的情况（1）类似。

Example：

TF2 *f2 = new TF2("f2","sin(x)*sin(y)/(x*y)",0,5,0,5);
f2->Draw();

但需要注意的是，一维函数即具有两个轴。而TF2仍然具有两个轴，也就意味着这本质上是一张平面投影图，只不过官方给出的事例不够明显。这里我更改绘图风格，使用f2->Draw(“COLZ”);得到下图，其特点更加直观：

（2）Expression using a user defined function

与上述TF1的情况（4）类似。

Example：

Double_t func(Double_t *val, Double_t *par)
{Float_t x = val[0];Float_t y = val[1];Double_t f = x*x-y*y;return f;
}void fplot()
{TF2 *f = new TF2("f",func,-1,1,-1,1);f->Draw("surf1");
}

需要注意的是，虽然具有三根轴，但其实际上是一个TF2类，只不过我们更改了作图风格为SURF1，仅此而已。

（3） Lambda Expression with x and y variables and parameters

与上述TF1的情况（3）类似。

Example：

TF2 f2("f2", [](double* x, double*p) { return x[0] + x[1] * p[0]; }, 0., 1., 0., 1., 1)
f2.SetParameter(0, 1.)
f2.Eval(1., 2.)

在这里插入一个解释，可以看到的是，在此类集成度高的语句的函数中，有一个[]或[&]，这是C++11的新特性，被称为匿名函数。

[] 不截取任何变量

[&] 截取外部作用域中所有变量，并作为引用在函数体中使用

[=] 截取外部作用域中所有变量，并拷贝一份在函数体中使用

3、TF12

TF12::TF12 	( 	const char *  	name,TF2 *  	f2,Double_t  	xy,Option_t *  	option = "x" ) 	

显然，该构造函数依托于TF2类，其需要先存在一个二维图像，其中的option的“x”或“y”选择投影到X或Y轴。下例就是在x=0.1处沿Y轴进行投影。

Example：

TF2 *f2 = new TF2("f2","sin(x)*sin(y)/(x*y)",0,5,0,5);
TF12 *f12 = new TF12("f12",f2,0.1,"y");
f12->Draw();

4、TF3

TF3::TF3 	( 	const char *  	name,const char *  	formula,Double_t  	xmin = 0,Double_t  	xmax = 1,Double_t  	ymin = 0,Double_t  	ymax = 1,Double_t  	zmin = 0,Double_t  	zmax = 1,Option_t *  	opt = nullptr ) 	

自前文一路看下来的读者已经发现了。“真正的”三维函数作图需要四根轴，很明显人类的视觉已经不够用了（赶紧考虑升一个维度）。官方也没有给出示例。拟合的效用可能远大于绘图。

当然用色块填充样式它可以表示三维物体的体积密度或者三维空间内某种粒子的通量。但对于Draw()方法而言，目前作出的图像形式比较奇怪，不论笔者如何更改作图风格，它似乎是通过点(0,0,0)的一个恒为零的面。有懂行的朋友可以给我讲一下。

Example：

Double_t func(Double_t *val, Double_t *par)
{Float_t x = val[0];Float_t y = val[1];Float_t z = val[2];Double_t f = sin(x)+sin(y)+sin(z);return f;
}void fplot()
{TF3 *f = new TF3("f",func,-1,1,-1,1,-1,1);f->Draw();
}

三、常用方法

1、含参函数的参数初始化

（1）初始化参数值

virtual void TF1::SetParameter 	( 	Int_t  	param,Double_t  	value ) 	

 单值设置。

virtual void TF1::SetParameters 	( 	Double_t  	p0,Double_t  	p1,Double_t  	p2 = 0,Double_t  	p3 = 0,Double_t  	p4 = 0,Double_t  	p5 = 0,Double_t  	p6 = 0,Double_t  	p7 = 0,Double_t  	p8 = 0,Double_t  	p9 = 0,Double_t  	p10 = 0 )

批量设置，从0开始。 

（2）赋参数名

void TF1::SetParName 	( 	Int_t  	ipar,const char *  	name ) 	

 单值设置。

void TF1::SetParNames 	( 	const char *  	name0 = "p0",const char *  	name1 = "p1",const char *  	name2 = "p2",const char *  	name3 = "p3",const char *  	name4 = "p4",const char *  	name5 = "p5",const char *  	name6 = "p6",const char *  	name7 = "p7",const char *  	name8 = "p8",const char *  	name9 = "p9",const char *  	name10 = "p10" ) 	

 批量设置，从0开始，参量名字符串用引号括起。

2、函数积分-Integral

（1）TF1

Double_t TF1::Integral 	( 	Double_t  	a,Double_t  	b,Double_t  	epsrel = 1.e-12 ) 	

epsrel的值是积分结果的相对容差，具有默认值，下同。

（2）TF2

Double_t TF2::Integral 	( 	Double_t  	ax,Double_t  	bx,Double_t  	ay,Double_t  	by,Double_t  	epsrel = 1.e-6 ) 	

（3）TF3 

Double_t TF3::Integral 	( 	Double_t  	ax,Double_t  	bx,Double_t  	ay,Double_t  	by,Double_t  	az,Double_t  	bz,Double_t  	epsrel = 1.e-6 )

【资料】

1、ROOT官网——ROOT: analyzing petabytes of data, scientifically. - ROOT 

2、ROOT文档——ROOT: Function classes.

3、ROOT的TF1实现——ROOT: hist/hist/src/TF1.cxx Source File

后续还会不断更新，如有错误请指正。