【补课】【概率论】几种分布概述

正态分布：又名高斯分布。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度——中轴线所在的位置横坐标为μ，标准差越大则曲线起伏越平缓（中部没有这么高耸，两侧比较分散）。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布，即N（0，1)。

概率密度函数为：

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

卡方分布：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-squaredistribution）。其中参数n称为自由度（通俗讲，样本中独立或能自由变化的自变量的个数，称为自由度）。分布的均值为自由度 n，记为 E() = n；分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 D() = 2n。

疑惑： E() = n即任意一个ξ平方的均值为1，这中间应有推导步骤，待细究。D() = 2n也如此。

从分布图可以看出：分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增大；分布趋近于正态分布；随着自由度n的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。

t分布：首先要提一句u分布。正态分布（normal distribution）是许多统计方法的理论基础，正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normaldistribution）,亦称u分布。根据中心极限定理，通过抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N（μ，σ）。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)。

由于在实际工作中，往往σ(总体方差)是未知的，常用s（样本方差）作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从（n）分布，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z～t(n)。

可以看出，t分布以0为中心，左右对称的单峰分布；t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线。

F分布：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为n的分布，Y服从自由度为m的分布，这两个独立的卡方分布除以各自的自由度以后的比率服从F分布。即：