Ripser.py学习 (8)：莫比乌斯带与系数域 (Moebius Strip And The Field of Coefficients)

1 概述

本节展示系数域如何影响$H_1$同伦。这个例子，与总是使用$\mathbb{Z}/2$（二进制）系数的常见约定相反，可能有充分的理由使用其他字段，尤其是在有扭曲的情况下。

以下是一些必须库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from ripser import ripser
from persim import plot_diagrams

2 测试数据

现在创建一个封闭环，可以理解为2D环嵌入到3D空间：

1. 围绕大圈每转一圈，让环围绕小圈（“内管”部分）运行两次；
2. 分别给定大圈和小圈的半径$R$和$r$，采样如下参数的曲线：

$$\begin{array}{rl}& x(t)=(R+r\cos (2t))\cos (t)\\ & y(t)=(R+r\cos (2t))\sin (t)\\ & z(t=r\sin (2t))\end{array}$$代码如下：

# 步骤1：曲线设置
N = 100  # 采样点的数量
R = 4    # 大环半径
r = 1    # 小环半径
X = np.zeros((N, 3))
t = np.linspace(0, 2*np.pi, N)
X[:, 0] = (R + r*np.cos(2*t))*np.cos(t)
X[:, 1] = (R + r*np.cos(2*t))*np.sin(t)
X[:, 2] = r*np.sin(2*t)

接着绘制持续图和数据图：

尽管该环很弯曲，$H_1$上只有一个类，且$\mathbb{Z}/2$和$\mathbb{Z}/3$的持续同伦图是一样，即只有一个类在0处初始。

对此，数据的生成公式修改为：
$$\begin{array}{rl}& x(t)=(R+r\cos (t))\cos (2t)\\ & y(t)=(R+r\cos (t))\sin (2t)\\ & z(t=r\sin (2t))\end{array}$$代码如下：

X[:, 0] = (R + r*np.cos(t))*np.cos(2*t)
X[:, 1] = (R + r*np.cos(t))*np.sin(2*t)
X[:, 2] = r*np.sin(t)

输出如下：