EM@反函数和复合函数

本文主要是介绍EM@反函数和复合函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

abstract

• 基于映射定义的反函数和复合函数
• 反函数相关性质
• 函数复合的条件
• 复合函数的定义域求解

反函数域复合函数的非映射的直接定义

• 另见:AM@映射@逆映射@复合映射

反函数

• 作为逆映射的特例,可以定义如下反函数概念
• 设函数$f:D\to f(D)$是单射,则它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\to D$,称此映射$f^{-1}$为函数$f$的反函数
  • 这里$f(D)$表示$f$的值域$R_f$
• 由反函数定义,$\forall y\in f(D)$,有唯一的$x\in D$,满足$f(x)=y$,于是$f^{-1}(y)=x$(或作$x=f^{-1}(y)$)
• 即,$f^{-1}$的对应法则完全由函数$f$的对应法则所确定
• 例如:$y=x^3,x\in \mathbb{R}$是单射,所以它的反函数存在,且其反函数$x=y^{\frac{1}{3}},x\in \mathbb{R}$

直接函数

• 相对于反函数$y=f^{-1}(x)$而言,原来的函数$y=f(x)$称为直接函数
• 直接函数和反函数互为反函数

反函数表示

• 对于$y=f(x),x\in D$的反函数$x=f^{-1}(y)$,习惯上自变量用字母$x$表示,而因变量用字母$y$表示
  • 例如$y=x^2,x\in \mathbb{R}$的反函数通常写作$y=x^{\frac{1}{3}},x\in \mathbb{R}$
• 一般地,$y=f(x),x\in D$的反函数记为$y=f^{-1}(x),x\in f(D)$

单调函数和反函数

• 若$f$是定义在$D$上的单调函数,则$f:D\to f(D)$是单射,于是$f$必定存在反函数$f^{-1}$,且$f^{-1}$也是单调的
• 证明:以单调增加为例,单调减少类似
  • 不妨设$f$在$D$上单调增加,我们证$f^{-1}$在$f(D)$上同样单调增加
  • $\forall y_1,y_2\in f(D)$,且$y_1<y_2$,按函数$f$的定义:
    • 对于$y_1$,在$D$内存在唯一的原像$x_1$使得$f(x_1)=y_1$,从而$f^{-1}(y_1)=x_1$
    • 对于$y_2$,在$D$内存在唯一的原像$x_2$使得$f(x_2)=y_2$,从而$f^{-1}(y_2)=x_2$
    • 方法1:因为$y_1<y_2$,且函数$f$单调增加,所以$x_1<x_2$,即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$.即$f^{-1}$在$f(D)$上单调增加
    • 方法2:若$x_1>x_2$,则由$f(x)$单调增加,$y_1>y_2$;若$x_1=x_2$,则$y_1=y_2$,显然这两种假设都和$y_1<y_2$矛盾,所以$x_1<x_2$,即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$.即$f^{-1}$在$f(D)$上单调增加

存在反函数的函数不一定是单调的👺

• 根据互为反函数的函数的图形特点,容易构造(找出)一个不单调的分段函数$f(x)$其存在反函数的例子

• $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x⩾0\\ \frac{1}{x}& x<0\end{array}$$

• 这个函数的反函数是其ben’shen

互为反函数的两个函数的图形特点

• 如果把直接函数$y=f(x)$和它的反函数$y=f^{-1}(x)$的图形画在同一个坐标系上,则这两个图形关于$y=x$对称

  • 若$P(a,b)$在$y=f(x)$的图形上,则$b=f(a)$
  • 由反函数定义,$a,b$满足$a=f^{-1}(b)$,即$Q(b,a)$在函数$y=f^{-1}(x)$的图形上
  • 反之,若$Q(b,a)$是$y=f^{-1}(x)$上的点,有$a=f^{-1}(b)$,$b=f(a)$,即$P(a,b)$是$y=f(x)$上的点
  • 而$P(a,b),Q(b,a)$是关于直线$y=x$对称,所以$f,f^{-1}$关于直线$y=x$对称

• 在同一直角坐标系内,$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图形重合(一致)

  • 函数$x=f^{-1}(y)$自变量为$y$,对应于$y$轴,因变量$x$对应于$x$轴
  • 设$P$的坐标为$(P_x,P_y)=(a,b)$是$x=f^{-1}(y)$上的点,则有$P_x=f^{-1}(P_y)$即$a=f^{-1}(b)$,
  • 由反函数定义,有$b=f(a)$,即$(a,b)$是$y=f(x)$上的点
  • 所以$P(a,b)$同时在$x=f^{-1}(y)$,$y=f(x)$的图形上,类似的,$y=f(x)$上的点也都在$x=f^{-1}(y)$上
  • 所以结论成立

自反性质

• 由反函数的定义:
  • $y=f(f^{-1}(y)),y\in R_f$,
  • $x=f^{-1}(f(x)),x\in D_f$

复合函数

• 复合函数是复合映射的一种特例

• 设函数$y=f(u),u\in D_f$,$u=g(x),x\in D_g$,且其值域$R_g\subset D_f$,则:函数$y=f[g(x)]$,$(x\in D_g)$称为$u=g(x)$和$y=f(u)$构成的复合函数;它的定义域为$D_g$,

• 变量$u$称为中间变量,中间变量应用在某些定理的证明上可以提供方便

  • $u=g(x)$,$y=f(u)$构成的复合函数$y=f(u)=f(g(x))$

复合顺序

• 函数$g$(内层函数)和$f$(外层函数)构成的复合函数,即按"先$g$后$f$"的次序复合的函数极记为$f\circ g$,即$(f\circ g)(x)$=$f[g(x)]$

复合条件

• 和复合映射相仿,$f\circ g$有意义的条件是$R_g\subset D_f$

• 某些不满足复合条件的函数,通过将内层函数的定义域加以限制得到新的函数,可以得到可复合的函数组

• 例如$f\circ g$无意义,但是限制定义域后的$g^{\ast }$可以和$f$复合:$f\circ g^{\ast }$

• 一般地,只要是$R_g\cap D_f\ne \varnothing$,则存在$g^{\ast }$使得$f\circ g^{\ast }$有意义,

• 通常,为了简便,我们仍然称$f\circ g^{\ast }$为函数$g$和函数$f$地复合函数

例

• $y=f(u)=\sqrt{u}$的定义域$D_f=[0,+\infty )$,$u=g(x)=\tan x$的值域为$R_g=(-\infty ,+\infty )$,显然$R_g\not\subset D_f$,因此$g,f$不能构成复合函数
• 但是若将$g$作一定的限制,限制在$D_g$的一个定义域的子集 D = { x ∣ k π ⩽ x < ( k + 1 2 ) π , k ∈ Z } D=\set{x|k\pi\leqslant{x}<(k+\frac{1}{2})\pi,k\in\mathbb{Z}} D={x∣kπ⩽x<(k+21​)π,k∈Z}上,那么$g^{\ast }=\tan x,x\in D$,则$R_{g^{\ast }}=g^{\ast }(D)\subset D_f$,$g^{\ast }$和$f$就可以复合为$(f\circ g^{\ast })(x)$=$\sqrt{\tan x}$,$x\in D$

多重复合

• 有时会有超过3个函数进行复合,只要它们顺次满足构成复合函数地的条件即可复合

例

• $y=\sqrt{u}$,$u=\cot v$,$v=\frac{x}{2}$
  • 定义域分别为$u\in [0,+\infty )$;$v\in (k\pi ,(k+1)\pi )$,$x\in \mathbb{R}$
• 则:$h(x)=(y\circ u\circ v)(x)$=$\sqrt{\cot \frac{x}{2}}$,其中$u,v$都为中间变量
• $h(x)$的定义域为 D = { x ∣ 2 k π < x ⩽ ( 2 k + 1 ) π , k ∈ Z } D=\set{x|2k\pi<x\leqslant{(2k+1)}\pi,k\in\mathbb{Z}} D={x∣2kπ<x⩽(2k+1)π,k∈Z}
  • 由$u\in [0,+\infty )$,即$\cot v\in [0,+\infty )$解得$v\in (k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ],k\in \mathbb{Z}$
  • 即$\frac{x}{2}\in (k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ]$,解得$x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi ),k\in \mathbb{Z}$

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