2023 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛——A 题 定日镜场的优化设计的解法

定日镜场的优化设计的模型研究

摘要

在本题中，面临着优化设计定日镜场的问题，以实现在达到额定功率条件下，最大化单位镜面面积年平均输出热功率的目标。为了解决这一问题，可以使用多个算法和数学模型。首先，需要建立光学模型来计算定日镜的光学效率。这个模型可以基于几何光学原理或辐射传热模型，根据太阳光的入射角度和反射光线的方向，计算定日镜的光学效率。同时，需要利用辐射模型来计算定日镜场的年平均输出热功率。这个模型可以考虑太阳光的辐射能量分布和入射角度，结合热传导模型，计算定日镜场在不同时间段的热功率输出。为了优化设计定日镜场的参数， 可以采用优化算法，如遗传算法、粒子群算法等。这些算法可以通过迭代搜索的方式，寻找最优的定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目和位置，以实现最大化单位镜面面积年平均输出热功率的目标。

针对问题一，对于问题1，吸收塔建于圆形定日镜场中心，定日镜尺寸均为6m×6m，安装高度均为4m。需要计算该定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率以及单位镜面面积年平均输出热功率。光学效率定义为吸收塔的平均光热效率，可以通过计算单位时间内吸收塔接收到的光热功率和单位时间内定日镜场总的太阳辐射功率之比来得到。年平均输出热功率是在问题中指定的时间点测量的瞬时功率的平均值。单位镜面面积年平均输出热功率是指在单位镜面面积上年平均输出的热功率。我们需要使用给定的定日镜位置和吸收塔位置，结合光学模型和辐射模型来计算这些指标。

针对问题二，为了解决这个问题，可以使用多目标优化算法，如NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）。通过设置目标函数为单位镜面面积年平均输出热功率，同时考虑约束条件，如吸收塔位置、定日镜尺寸范围、安装高度限制以及定日镜间距要求等，来优化设计参数。在优化过程中，可以使用光学模型和辐射模型计算光学效率和输出热功率，并考虑定日镜的聚光效果、阴影效应、太阳入射角度等因素。通过调整吸收塔位置坐标、定日镜尺寸、安装高度和定日镜位置，可以优化光热能的收集和转化效率，以达到最大化单位镜面面积年平均输出热功率的目标。最终的设计结果按照给定表格的格式填写，并将吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目和定日镜位置坐标等参数保存到结果文件中。

针对问题三，为了解决这个问题，可以使用多目标优化算法，如NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）。通过设置目标函数为单位镜面面积年平均输出热功率，同时考虑约束条件，如吸收塔位置、定日镜尺寸范围、安装高度限制以及定日镜间距要求等，来优化设计参数。在优化过程中，可以使用光学模型和辐射模型计算光学效率和输出热功率，并考虑定日镜的聚光效果、阴影效应、太阳入射角度等因素。通过调整吸收塔位置坐标、定日镜尺寸、安装高度和定日镜位置，可以优化光热能的收集和转化效率，以达到最大化单位镜面面积年平均输出热功率的目标。最终的设计结果可以按照给定表格的格式填写，并将吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目和定日镜位置坐标等参数保存到结果文件中。

关键字：辐射模型；光学效率；优化算法；最大化单位镜面；

• 问题重述

定日镜场的优化设计模型是针对光热能利用系统中的定日镜场进行参数调整和布局优化，以提高系统的能量收集效率和整体性能。在优化设计模型中，考虑的主要目标是使得单位镜面面积年平均输出热功率最大化，同时满足系统的额定功率要求。为了实现这一目标，需要对定日镜的尺寸、安装高度和位置等参数进行调整和优化。在优化过程中，可以采用多目标优化算法，如NSGA-II等，通过建立数学模型和辐射模型，结合约束条件，以寻找最佳的参数组合。这些约束条件包括吸收塔位置、定日镜尺寸范围、安装高度限制以及定日镜间距要求等。优化设计模型需要综合考虑多个因素，如太阳入射角度、定日镜的聚光效果、阴影效应以及光学效率等。通过调整定日镜的尺寸、安装高度和位置，以及优化定日镜场的布局，可以实现能量的最大化输出。最终，优化设计模型将给出最佳的定日镜场参数和布局方案，以提高系统的能量收集效率和性能。这将为光热能利用系统的可持续发展提供重要的支持。

优化设计模型还可以考虑其他因素，以进一步提高整个模型的性能。一方面，可以考虑在优化设计中引入经济性因素，例如考虑定日镜制造成本、安装成本和维护成本等。通过在优化设计中权衡能量输出和成本，可以找到最经济高效的定日镜场设计方案。另一方面，可以考虑环境因素，如地形、气候和环境保护要求等。考虑这些因素可以减少系统对环境的影响，并确保在各种自然条件下定日镜场的稳定性和可靠性。此外，可以考虑定日镜场的可扩展性和灵活性。通过设计可扩展的系统结构，可以在需要时轻松增加定日镜数量，以满足更大的能量需求。同时，为了适应不同的工作需求，可以设计灵活的布局方案，允许定日镜的调整和重新配置。

问题1：

定日镜场的设计思路是为了优化整个模型的性能。通过调整定日镜的参数和布局，实现太阳能的最大收集和转化，从而提高能源输出。

问题2：

在定日镜场的优化设计中，需要考虑多个因素进行优化。首先，要考虑定日镜的尺寸、安装高度和位置，以获得最佳的聚光效果；其次，要考虑太阳入射角度、阴影效应和光学效率等因素，以提高能量转化效率；另外，还可以考虑经济性因素、环境因素和可扩展性等，以实现经济高效、环境友好和灵活可调整的设计。

问题3：

优化设计模型对定日镜场的设计可以综合考虑多个因素，从而对整个模型产生积极的影响和作用。通过优化设计，定日镜场的参数和布局可以被有效地调整，以提高能量收集效率和系统性能。优化后的定日镜场能够更准确地聚焦太阳辐射能，提高能量转化效率，从而提高整个模型的能源输出。此外，考虑经济性、环境因素和可扩展性等，还可以实现成本效益的提升、减少对环境的影响，并具备适应未来能源需求增长的扩展能力。因此，优化设计模型对整个模型的综合优化起到了重要的作用。

• 问题分析

2.1 问题一的分析

在问题一中，通过题意我们已知定日镜的尺寸、安装高度和定日镜中心的位置，在附件.xlsx中可以看到所有定日镜的中心位置，即可以得出在此题目下的定日镜的数量为1745个。

根据题目所给公式可得：

通过计算定日镜的阴影遮挡效率、余弦效率、大气透射率、镜面反射率和集热器截断效率。

即需要求阴影遮挡损失、余弦损失、集热器接收能量、镜面全反射能量集热器接收能量和阴影损失遮挡部分能量。

2.2 问题二的分析

为了优化定日镜场的设计，我们可以使用非支配排序遗传算法（NSGA-II）来求解最佳参数和布局。首先，我们定义目标函数 f(x)，其中 x 表示定日镜场的参数和布局。目标函数可以衡量定日镜场的能量输出。我们需要确定变量和约束条件。变量包括定日镜的尺寸、安装高度和位置等参数。约束条件可以包括定日镜的最大可承受角度和安全性要求等。接下来，我们定义适应度函数 fitness(x)，用于评估每个解的优劣程度。对于定日镜场的设计，适应度函数可以是能量输出的多目标评价函数，如平均年能量输出或年能量输出方差。然后，我们初始化一个种群 Population，其中每个个体代表一个定日镜场的参数和布局解。在算法的迭代过程中，我们使用交叉和变异操作来产生新的解，并计算每个解的适应度值。通过非支配排序和拥挤度距离的计算，对种群进行排序和选择。重复进行交叉、变异、选择等操作，直到达到停止条件（如达到最大迭代次数）为止。在迭代的过程中，NSGA-II算法生成一系列的非支配解集合，称为帕累托前沿。从中选择最优解作为最佳定日镜场的设计方案，即具有较高能量输出的解。

2.3 问题三的分析

首先，我们需要计算法向直接辐射辐照度（DNI）。DNI表示在垂直于太阳光线的平面上，每个单位面积上单位时间内接收到的太阳辐射能量。DNI的计算依赖于太阳高度角（������）和其他参数，根据给定的公式可以计算出DNI的数值。接下来，我们需要计算定日镜的光学效率（���）。光学效率可以分解为阴影遮挡效率（���sb）、余弦效率（���cos）、大气透射率（���at）和集热器截断效率（���trunc）的乘积。阴影遮挡效率表示由于阴影遮挡引起的能量损失，余弦效率表示太阳光线与定日镜法线夹角的影响，大气透射率表示光线通过大气层的衰减情况，集热器截断效率表示由集热器的形状引起的反射和阴影损失。定日镜的光学效率是这些因素相乘得到的结果。最后，根据定日镜场的参数和布局，我们可以计算定日镜场的输出热功率（���field）。输出热功率的计算基于法向直接辐射辐照度（DNI）以及每个定日镜采光面积和光学效率的乘积的总和。通过对以上算法和数学公式的运用，我们可以计算出定日镜场的输出热功率，进而为相关问题提供解决方案。需要注意的是，在实际计算过程中，我们需要根据具体的参数和常数值，利用上述公式进行计算，并对结果进行合理的单位转换。

• 模型假设

1. 假设题中所给的数据准确无误。

（2）假设在设备运行中，没有意外情况发生（设备失灵）

（3）假设不考虑环境因素，如地形、气候和环境保护要求等因素

（4）假设相邻两个定日镜场的距离一样（距离用实际平均距离代替）

四、符号说明及名词定义