经验风险最小化、结构风险最小化、极大似然估计、最大后验概率估计...||《统计学习方法》李航_第1章_蓝皮（学习笔记）

本文主要是介绍经验风险最小化、结构风险最小化、极大似然估计、最大后验概率估计...||《统计学习方法》李航_第1章_蓝皮（学习笔记），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

挑重点记录一下。

监督学习

监督学习有一个重要的假设：设输入的随机变量$X$和$Y$遵循联合概率分布$P\left(X,Y\right)$，所有数据是独立同分布的。

统计学习三要素

包括模型、策略、算法（书中算法没有细讲）

模型

在监督学习过程中，模型是要学习的条件概率分布或者决策函数。模型的假设空间记为$\mathcal{F}$。

1. 假设空间包括决策函数的集合：$\mathcal{F}$ = { f ∣ Y = f ( X ) } \{ \it f \ | \ Y=\it f (X)\} {f ∣ Y=f(X)}
   $\mathcal{F}$ 通常是有参数$\theta$决定的：$\mathcal{F}$ = { f ∣ Y = f θ ( X ) , θ ∈ R n } \{ \it f\ |\ Y=\it f_\theta (X),\theta \in \bf R^n \} {f ∣ Y=fθ​(X),θ∈Rn}
2. 假设空间是条件概率的集合：$\mathcal{F}$ = { P ∣ P ( Y ∣ X ) } \{P\ |\ P ( Y|X ) \} {P ∣ P(Y∣X)}
   $\mathcal{F}$ 通常是有参数$\theta$决定的：$\mathcal{F}$ = { P ∣ P θ ( Y ∣ X ) , θ ∈ R n } \{P\ |\ P_\theta ( Y|X ), \theta \in \bf R^n \} {P ∣ Pθ​(Y∣X),θ∈Rn}

策略（经验风险和结构经验风险）

有了模型，就要考虑按照什么准则学习，或者如何选择最优模型

1. 损失函数和风险函数
   ●损失函数一般指衡量预测值$f(X)$和真实$Y$之间差异,常用的有：
   (1)平方误差：$L(Y,f(X))=(Y-f(X){)}^2$
   (2)对数似然函数：$L(Y,f(X))=-logP(Y|X)$
   ●风险函数指理论上模型$f(X)$关于$P(X,Y)$的期望：
   $R_{exp}(f)=E_p[L(Y,f(X))]$ = ${\int }_{x,y}^{}L(y,f(x))P(x,y)dxdy$
   然而，我们没有那么多数据，所以引出了：

2. 经验风险和结构经验风险
   ●经验风险就是在给定的N个数据 ( x i , y i ) , i ∈ { 1... N } (x_i,y_i),i \in \{1...N\} (xi​,yi​),i∈{1...N}情况下，利用大数定律，用经验风险逼近期望风险，公式如下：
   $R_{emp}(f)=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$
   但是由于样本不多，所以引入结构风险：
   ●结构风险是为了防止过拟合（在样本数量不足但参数过多时容易过拟合，公式如下：
   $R_{srm}(f)=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$
   $J(f)$是复杂度，模型越复杂，$J(f)$就越大，也就是说复杂度表示了对复杂模型的惩罚。

因此我们的策略就是求解最小化经验风险或者结构风险：
$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$

另外,
$当模型是条件概率分布，损失函数是负对数函数时，经验风险最小化等价于极大似然估计（MLE）；$
$结构风险最小化等价于最大后验概率估计（MAP）$ . . . . . . . . 后面会证明。

判别模型与生成模型

1. 生成方法
   由数据学习得到联合概率分布$P\left(X,Y\right)$，然后求出条件概率分布$P(Y|X)$
   主要模型有：朴素贝叶斯模型和隐马尔可夫模型，比较难。
2. 判别方法
   由数据直接学习$P(Y|X)$或者判别函数$f(X)$
   主要模型有：k近邻、感知器、决策树、逻辑回归、最大熵模型、SVM、条件随机场等。

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补充（含课后作业）

先介绍一下极大似然估计、最大后验概率估计以及贝叶斯估计（每次看见这几个都有点恍惚，这次要全部弄懂！）

MLE、MAP和贝叶斯估计

首先弄明白估计是在估计什么：三种估计都是对概率分布的参数进行求解，比如高斯分布的均值$\mu$、方差$\sigma$或者伯努利分布的概率$p$，以上所有都用$\theta$代替。
也就是说，我们可能有一堆数据，知道$P(X|\theta )$（求参数），其中$\theta$是变量，那怎么求（找策略），所以有三种策略，极大似然估计、MAP和贝叶斯估计。

因为经常搞不清条件概率和似然函数的区别，所以查了很多资料，下面这个理解感觉能解释得通：

对于这个函数： P(x|θ)
P(x|θ) 输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ表示模型的参数。
如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。
如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

举例（作业题）：求N次独立伯努利实验下，结果中有k次的结果为1（说明所有x已知），估计结果为1的概率（求参数）。
其中伯努利分布是一个0-1分布，即P(x=1)=θ, P(x=0)=1-θ;
对应的似然就是P(x=1 | θ)=θ, P(x=0 | θ)=1-θ;（注意是小写x）

证明经验风险最小化等价于极大似然估计（在特定条件下）

1. 极大似然估计
所以依据所有实验数据，$似然函数等于所有似然概率的乘积$（一般都是这样定义），加上我们独立同分布的假设，得到似然函数(注意我们求解的依然是条件概率)：
$L(\theta |X)=P(X|\theta )={\prod }_{i=1}^{N}P(x_i|\theta )$
我们一般写成对数形式，方便求解，即，
$L(\theta |X)={\sum }_{i=1}^{N}lnP(x_i|\theta )$
极大似然估计，就是求使得似然函数概率最大的值，则我们得到优化函数：
$\underset{\theta }{\max }L(\theta |X)=\underset{\theta }{\max }{\sum }_{i=1}^{N}lnP(x_i|\theta )$
取负对数：
$\underset{\theta }{\min }L(\theta |X)=\underset{\theta }{\min }{\sum }_{i=1}^N-lnP(x_i|\theta )$
比较经验风险最小化：$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$
$可以看到极大似然估计取负对数时与经验风险最小化等价$
求解的算法就是求导，另导数为0即可得到最优${\theta }^{\ast }$

得到$\theta$的目的也是为了预测，我们的最终目的是去预测新事件基于这个参数下发生的概率：

因为是估计值，所以是约等于

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因此，带入作业可以得到
$L(\theta )={\prod }_{i=1}^{N}P(x_i|\theta )={\theta }^k{(1-\theta )}^{N-k}$
对数形式为
$L(\theta |X)={\sum }_{i=1}^{N}lnP(x_i|\theta )=ln{\theta }^k{(1-\theta )}^{N-k}$
求导赋0得
$kln\theta +(N-k)ln(1-\theta )=0$
解得
${\theta }^{\ast }=\frac{k}{N}$

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可以看出，极大似然估计以实验中概率大的结果，没有考虑先验信息等。因此提出最大后验概率策略。

证明结构风险最小化与最大后验概率等价（在特定条件下）

2.最大后验概率估计
最大后验概率引入了参数的先验概率，根据贝叶斯公式，后验概率为：

$P(\theta |X)=P(X|\theta )P(\theta )/P(X)$,但在一个实验中，如N次伯努利实验，正反面的概率已知，所以$P(X)$是已知的。因此我们可以认为最大后验概率是求$P(X|\theta )P(\theta )$最大。
此时的似然函数为：
$L(\theta |X)=P(\theta |X)\propto {\prod }_{i=1}^{N}P(x_i|\theta )P(\theta )$
对数形式为：
$L(\theta |X)={\sum }_{i=1}^{N}lnP(x_i|\theta )+lnP(\theta )$
优化函数：
$\underset{\theta }{\max }L(\theta |X)=\underset{\theta }{\max }{\sum }_{i=1}^{N}lnP(x_i|\theta )+lnP(\theta )$
取负对数：
min ⁡ θ L ( θ ∣ X ) = min ⁡ θ − { ∑ i = 1 N l n P ( x i ∣ θ ) + l n P ( θ ) \min \limits_{\theta} L(\theta | X)=\min \limits_{\theta}- \{\sum_{i=1}^{N}{lnP(x_i|\theta) + lnP(\theta)} θmin​L(θ∣X)=θmin​−{∑i=1N​lnP(xi​∣θ)+lnP(θ)}
比较结构风险最小化：
$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$
$可以看到最大后验概率估计取负对数时与结构风险最小化等价$

求解的算法还是求导，得到一个最优${\theta }^{\ast }$

求出参数值之后，当然接下来就要预测了，

因为是估计值，所以是约等于

贝叶斯估计

完全参考贝叶斯估计
总结一下就是，不求$\theta$，求出后验分布出来

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其他参考：
https://blog.csdn.net/u011508640/article/details/72815981
https://blog.csdn.net/u013884727/article/details/23544633

这篇关于经验风险最小化、结构风险最小化、极大似然估计、最大后验概率估计...||《统计学习方法》李航_第1章_蓝皮（学习笔记）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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