微积分-积分应用5.4(功)

2024-09-08 15:12
文章标签 应用 积分 微积分 5.4

本文主要是介绍微积分-积分应用5.4(功),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

术语“功”在日常语言中用来表示完成一项任务所需的总努力量。在物理学中,它有一个依赖于“力”概念的技术含义。直观上,你可以将力理解为对物体的推或拉——例如,一个书本在桌面上的水平推动,或者地球对球的向下拉力。一般来说,如果一个物体沿着一条直线运动,位置函数为 s ( t ) s(t) s(t),那么物体上的力 F F F(与运动方向相同)由牛顿第二运动定律给出,等于物体的质量 m m m 与其加速度 a a a 的乘积:

F = m a = m d 2 s d t 2 F = ma = m \frac{d^2s}{dt^2} F=ma=mdt2d2s

在国际单位制(SI公制系统)中,质量以千克(kg)为单位,位移以米(m)为单位,时间以秒(s)为单位,力的单位是牛顿(N = kg·m/s²)。因此,对质量为1千克的物体施加1牛顿的力,会产生1米/秒²的加速度。在美国习惯制系统中,基本单位选择为力的单位,即磅(pound)。

在恒定加速度的情况下,力 F F F 也是恒定的,所做的功定义为力 F F F 与物体移动的距离 d d d 的乘积:

W = F d 功 = 力 × 距离 W = Fd \quad \text{功} = \text{力} \times \text{距离} W=Fd=×距离

如果 F F F 以牛顿为单位, d d d 以米为单位,那么功 W W W 的单位是牛顿·米,这叫做焦耳(J)。如果 F F F 以磅为单位, d d d 以英尺为单位,那么功的单位是英尺·磅(ft-lb),约等于1.36 J。

例1
(a) 将一个1.2千克的书从地上抬到0.7米高的桌子上,做了多少功?使用重力加速度 g = 9.8 m/s 2 g = 9.8 \, \text{m/s}^2 g=9.8m/s2

(b) 将一个20磅重的物体从地面抬到6英尺高,做了多少功?

解答
(a) 所施加的力与重力相等并相反,因此根据方程1有:

F = m g = ( 1.2 ) ( 9.8 ) = 11.76 N F = mg = (1.2)(9.8) = 11.76 \, \text{N} F=mg=(1.2)(9.8)=11.76N

然后根据方程2计算所做的功为:

W = F d = ( 11.76 N ) ( 0.7 m ) ≈ 8.2 J W = Fd = (11.76 \, \text{N})(0.7 \, \text{m}) \approx 8.2 \, \text{J} W=Fd=(11.76N)(0.7m)8.2J

(b) 这里力 F F F 给定为 20 lb 20 \, \text{lb} 20lb,因此做功为:

W = F d = ( 20 lb ) ( 6 ft ) = 120 ft-lb W = Fd = (20 \, \text{lb})(6 \, \text{ft}) = 120 \, \text{ft-lb} W=Fd=(20lb)(6ft)=120ft-lb

注意,在(b)部分,与(a)部分不同,我们不需要乘以 g g g,因为给定的是重量(即力),而不是物体的质量。

方程2定义了当力是恒定时的功,但如果力是变化的呢?假设物体沿着x轴在正方向上从 x = a x = a x=a 移动到 x = b x = b x=b,并且在 a a a b b b 之间的每一点 x x x 处,一个力 f ( x ) f(x) f(x) 作用在物体上,其中 f f f 是一个连续函数。我们将区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 分成 n n n 个子区间,端点为 x 0 , x 1 , … , x n x_0, x_1, \dots, x_n x0,x1,,xn,并且每个子区间的长度都是 Δ x \Delta x Δx。我们在第 i i i 个子区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1}, x_i] [xi1,xi] 内选择一个采样点 x i ∗ x_i^* xi。那么在该点的力就是 f ( x i ∗ ) f(x_i^*) f(xi)。如果 n n n 很大,那么 Δ x \Delta x Δx 就很小,并且由于 f f f 是连续的,函数 f f f 的值在子区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1}, x_i] [xi1,xi] 内不会变化太多。换句话说, f f f 在该区间上几乎是常数,因此从 x i − 1 x_{i-1} xi1 x i x_i xi 之间移动物体所做的功 W i W_i Wi 可以通过方程2近似表示为:

W i ≈ f ( x i ∗ ) Δ x W_i \approx f(x_i^*) \Delta x Wif(xi)Δx

因此,我们可以将总功近似为:

W ≈ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x W \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x Wi=1nf(xi)Δx

随着 n n n 变大,这种近似看起来会越来越精确。因此我们定义将物体从 a a a 移动到 b b b 所做的功为当 n → ∞ n \to \infty n 时这个量的极限。因为等式(3)的右边是一个黎曼和,所以我们将它的极限认作为定积分,因此:

W = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x = ∫ a b f ( x ) d x W = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx W=nlimi=1nf(xi)Δx=abf(x)dx

例2 当一个粒子位于距离原点 x x x 英尺的地方时,作用在其上的力为 x 2 + 2 x x^2 + 2x x2+2x 磅。将它从 x = 1 x = 1 x=1 移动到 x = 3 x = 3 x=3 时,做了多少功

解答
W = ∫ 1 3 ( x 2 + 2 x ) d x = [ x 3 3 + x 2 ] 1 3 = 50 3 W = \int_1^3 (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^3 = \frac{50}{3} W=13(x2+2x)dx=[3x3+x2]13=350

所做的功为 16 2 3 16 \frac{2}{3} 1632 英尺-磅。

在下一个例子中,我们使用了一个物理定律。胡克定律指出,要保持弹簧被拉伸到超出其自然长度 x x x 个单位所需的力与 x x x 成正比:

f ( x ) = k x f(x) = kx f(x)=kx

其中 k k k 是一个被称为弹簧常数的正数(参见图1)。胡克定律在 x x x 不太大的情况下适用。
在这里插入图片描述

例3 要将一个弹簧从其自然长度的10厘米拉伸到15厘米,需要40牛顿的力。那么将弹簧从15厘米拉伸到18厘米时,做了多少功?

解答 根据胡克定律,将弹簧拉伸 x x x 米超出其自然长度所需的力是 f ( x ) = k x f(x) = kx f(x)=kx。当弹簧从10厘米拉伸到15厘米时,拉伸的量是5厘米 = 0.05米。这意味着 f ( 0.05 ) = 40 f(0.05) = 40 f(0.05)=40,所以

0.05 k = 40 k = 40 0.05 = 800 0.05k = 40 \quad k = \frac{40}{0.05} = 800 0.05k=40k=0.0540=800

因此 f ( x ) = 800 x f(x) = 800x f(x)=800x,将弹簧从15厘米拉伸到18厘米所做的功为:

W = ∫ 0.05 0.08 800 x d x = 800 [ x 2 2 ] 0.05 0.08 = 400 [ ( 0.08 ) 2 − ( 0.05 ) 2 ] = 1.56 J \begin{align*} W &= \int_{0.05}^{0.08} 800x \, dx = 800 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0.05}^{0.08}\\ &= 400 \left[(0.08)^2 - (0.05)^2\right] = 1.56 \, \text{J} \end{align*} W=0.050.08800xdx=800[2x2]0.050.08=400[(0.08)2(0.05)2]=1.56J

例4 一根重200磅、长100英尺的电缆从高楼顶端垂直悬挂。要将电缆提到楼顶,需要做多少功?

解答 这里我们没有力的公式,但可以使用类似于定义4的推理。
我们将原点放在楼顶,并将 x x x 轴向下指,如图2所示。我们将电缆分成长度为 Δ x \Delta x Δx 的小部分。如果 x i ∗ x_i^* xi 是第 i i i 个小部分中的一个点,则该区间内所有点被提升的距离大约相同,即 x i ∗ x_i^* xi。电缆每英尺重2磅,因此第 i i i 个小部分的重量是 ( 2 lb/ft ) ( Δ x ft ) = 2 Δ x lb (2 \, \text{lb/ft})(\Delta x \, \text{ft}) = 2\Delta x \, \text{lb} (2lb/ft)(Δxft)=xlb。因此,第 i i i 个部分所做的功(以英尺-磅为单位)为:

( 2 Δ x ) ⋅ x i ∗ = 2 x i ∗ Δ x (2\Delta x) \cdot x_i^* = 2x_i^* \Delta x (x)xi=2xiΔx

我们通过将所有这些近似值加起来并让部分数增大(即 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx0),得到总功:

W = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n 2 x i ∗ Δ x = ∫ 0 100 2 x d x = [ x 2 ] 0 100 = 10 , 000 ft-lb \begin{align*} W &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 2x_i^* \Delta x = \int_0^{100} 2x \, dx\\ &= \left[ x^2 \right]_0^{100} = 10,000 \, \text{ft-lb} \end{align*} W=nlimi=1n2xiΔx=01002xdx=[x2]0100=10,000ft-lb

例5 一个水箱的形状是倒置的圆锥体,高度为10米,底部半径为4米。水箱中的水充满到8米的高度。计算将水箱中的水全部泵到水箱顶部所需的功。(水的密度为1000 kg/m³。)

解答 我们将深度从水箱顶部开始测量,沿着垂直坐标线,如图3所示。水从深度2米延伸到深度10米。因此,我们将区间 [2, 10] 分成 n n n 个子区间,端点为 x 0 , x 1 , … , x n x_0, x_1, \dots, x_n x0,x1,,xn,并选择 x i ∗ x_i^* xi 为第 i i i 个子区间中的点。这将水分成 n n n 层。第 i i i 层可用半径为 r i r_i ri 和高度为 Δ x \Delta x Δx 的圆柱体近似表示。我们可以通过相似三角形计算 r i r_i ri,如下所示:
在这里插入图片描述

r i 10 − x i ∗ = 4 10 r i = 2 5 ( 10 − x i ∗ ) \frac{r_i}{10 - x_i^*} = \frac{4}{10} \quad r_i = \frac{2}{5}(10 - x_i^*) 10xiri=104ri=52(10xi)

因此,第 i i i 层水的体积近似为:

V i ≈ π r i 2 Δ x = 4 π 25 ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x V_i \approx \pi r_i^2 \Delta x = \frac{4\pi}{25}(10 - x_i^*)^2 \Delta x Viπri2Δx=254π(10xi)2Δx

因此,它的质量为:

m i = 密度 × 体积 ≈ 1000 ⋅ 4 π 25 ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x = 160 π ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x m_i = \text{密度} \times \text{体积} \approx 1000 \cdot \frac{4\pi}{25}(10 - x_i^*)^2 \Delta x = 160\pi(10 - x_i^*)^2 \Delta x mi=密度×体积1000254π(10xi)2Δx=160π(10xi)2Δx

提升这一层所需的力必须克服重力,因此:

F i = m i ⋅ g = ( 9.8 ) 160 π ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x = 1568 π ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x F_i = m_i \cdot g = (9.8)160\pi(10 - x_i^*)^2 \Delta x = 1568\pi(10 - x_i^*)^2 \Delta x Fi=mig=(9.8)160π(10xi)2Δx=1568π(10xi)2Δx

这一层的每个粒子必须向上移动大约 x i ∗ x_i^* xi 的距离。提升这一层到顶部所做的功 W i W_i Wi 近似为力 F i F_i Fi 和距离 x i ∗ x_i^* xi 的乘积:

W i ≈ F i x i ∗ ≈ 1568 π x i ∗ ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x W_i \approx F_i x_i^* \approx 1568\pi x_i^*(10 - x_i^*)^2 \Delta x WiFixi1568πxi(10xi)2Δx

为了计算排空整个水箱所做的总功,我们将每层的贡献相加,并取 n → ∞ n \to \infty n 的极限:

W = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n 1568 π x i ∗ ( 10 − x i ∗ ) 2 Δ x = ∫ 2 10 1568 π x ( 10 − x ) 2 d x = 1568 π ∫ 2 10 ( 100 x − 20 x 2 + x 3 ) d x = 1568 π [ 50 x 2 − 20 x 3 3 + x 4 4 ] 2 10 = 1568 π ( 2048 3 ) ≈ 3.4 × 1 0 6 J \begin{align*} W &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 1568\pi x_i^*(10 - x_i^*)^2 \Delta x = \int_2^{10} 1568\pi x(10 - x)^2 \, dx\\ &= 1568\pi \int_2^{10} (100x - 20x^2 + x^3) \, dx = 1568\pi \left[ 50x^2 - \frac{20x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_2^{10}\\ &= 1568\pi \left(\frac{2048}{3}\right) \approx 3.4 \times 10^6 \, \text{J} \end{align*} W=nlimi=1n1568πxi(10xi)2Δx=2101568πx(10x)2dx=1568π210(100x20x2+x3)dx=1568π[50x2320x3+4x4]210=1568π(32048)3.4×106J

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