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A 题 “板凳龙” 闹元宵
摘要
“板凳龙”是一种传统的民俗文化活动，通常由许多板凳连接成龙的形状进行表演。本文基于螺旋线和板凳龙的运动特性，建立数学模型来分析舞龙队在不同情况下的运动轨迹、调头路径和速度优化等问题。问题主要涉及板凳龙的行进路径、碰撞避免、调头空间的设计，以及如何优化龙头的速度，以确保龙身与龙尾的行进安全。
针对问题一，舞龙队由223节板凳组成，龙头前把手的速度为1 m/s，队伍沿螺距为55 cm的螺旋线顺时针盘入。要求在300秒内，每秒计算龙头、龙身和龙尾各部分的位置信息和速度。我们使用极坐标建立螺旋线方程，然后根据螺旋方程计算龙身和龙尾各部分的位置，由每节板凳的时间差分位置计算得到速度。
针对问题二，在舞龙队盘入过程中，需要确保相邻的板凳之间不会发生碰撞。当相邻板凳的距离小于安全距离时，需要终止盘入。因此，确定盘入的极限时间非常重要。计算相邻板凳的相对距离，找到两节板凳即将碰撞的时刻，停止计算，并记录此时队伍的所有位置信息和速度。
针对问题三，舞龙队需要在直径为9米的调头空间内完成调头，即龙头需要从螺旋线的盘入进入调头空间。为了确保进入调头空间，要求计算最小的螺距。调头空间模型：调头空间为直径9米的圆形区域。龙头的螺旋半径 r在盘入过程中不断减小，当 𝑟≤4.5m 时，龙头进入调头空间。通过优化螺距 𝑎，确定使龙头顺利进入调头空间边界的最小值。使用数值方法迭代计算最小螺距，确保龙头能够进入调头空间。
针对问题四，在调头空间内，舞龙队需要从顺时针盘入转换为逆时针盘出。为了使路径尽可能短，需要优化调头路径。调头路径由两段相切的圆弧组成，前段圆弧的半径是后段的两倍。确保调头路径平滑过渡，通过几何优化方法，优化调头路径，减少总长度。
针对问题五，确定龙头的最大行进速度，使得舞龙队的每一节板凳的速度都不超过 2 m/s。龙头的速度越快，队伍的表演效果越好，但同时需要确保安全。计算龙头的速度对每节板凳速度的传播效果，通过建立优化模型，最大化龙头速度，同时确保每节板凳的速度 𝑣≤2m/s。
最后,我们对提出的模型进行全面的评价：本文的模型贴合实际,能合理解决提出的问题,具有实用性强。
关键词： 板凳龙 螺旋线 路径规划 数值优化
一、问题重述
1.1问题背景
"板凳龙"是浙闽地区传统的民俗文化活动，其特色是将几十至上百条板凳首尾相连，形成龙的形状。舞龙队伍在节庆活动中表演时，龙头在前，龙身和龙尾紧随其后，队伍围绕一个中心盘旋。这种活动的观赏性很大程度上依赖于舞龙队伍在有限空间内的灵活盘旋和紧凑排列。因此，如何通过优化队伍的运动路径、速度及螺旋线的参数，是提升观赏性、降低占地面积的重要研究方向。
本题目要求从多个方面建立数学模型，来解决舞龙队伍在盘旋中的实际问题，如如何计算龙头及龙身每秒的位置与速度、确定队伍盘入的极限时间、优化调头路径以及最大化龙头的行进速度。这些问题都需要通过合理的数学建模和优化算法进行分析和求解。
1.2 问题提出
问题一：舞龙队沿螺距为55 cm的等距螺线顺时针盘入，各把手中心均位于螺线上。龙头前把手的行进速度始终保持1 m/s。初始时，龙头位于螺线第16圈A点处（见图4）。请给出从初始时刻到300 s为止，每秒整个舞龙队的位置和速度（指龙头、龙身和龙尾各前把手及龙尾后把手中心的位置和速度，下同），将结果保存到文件result1.xlsx中（模板文件见附件，其中“龙尾（后）”表示龙尾后把手，其余的均是前把手，结果保留6位小数，下同）。
问题二：舞龙队沿问题1 设定的螺线盘入，请确定舞龙队盘入的终止时刻，使得板凳之间不发生碰撞（即舞龙队不能再继续盘入的时间），并给出此时舞龙队的位置和速度，将结果存放到文件result2.xlsx 中（模板文件见附件）。同时在论文中给出此时龙头前把手、龙头后面第1、51、101、151、201 条龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度。
问题三：从盘入到盘出，舞龙队将由顺时针盘入调头切换为逆时针盘出，这需要一定的调头空间。若调头空间是以螺线中心为圆心、直径为9 m 的圆形区域（见图5），请确定最小螺距，使得龙头前把手能够沿着相应的螺线盘入到调头空间的边界。
问题四：盘入螺线的螺距为1.7 m，盘出螺线与盘入螺线关于螺线中心呈中心对称，舞龙队在问题3 设定的调头空间内完成调头，调头路径是由两段圆弧相切连接而成的S 形曲线，前一段圆弧的半径是后一段的2 倍，它与盘入、盘出螺线均相切。能否调整圆弧，仍保持各部分相切，使得调头曲线变短？
龙头前把手的行进速度始终保持1 m/s。以调头开始时间为零时刻，给出从−100 s 开始到100 s 为止，每秒舞龙队的位置和速度，将结果存放到文件result4.xlsx 中（模板文件见附件）。同时在论文中给出−100 s、−50 s、0 s、50 s、100 s 时，龙头前把手、龙头后面第1、51、101、151、201 节龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度。
问题五：舞龙队沿问题4 设定的路径行进，龙头行进速度保持不变，请确定龙头的最大行进速度，使得舞龙队各把手的速度均不超过2 m/s。
二、问题分析
问题一：本问题要求我们模拟一条由223节板凳组成的“板凳龙”在舞龙过程中沿螺距为0.55米的等距螺线顺时针盘入的运动情况。需要计算出舞龙队在300秒内每秒的位置与速度，特别是针对龙头、龙身（第1、51、101、151、201节）及龙尾的前把手位置，最后将结果保存到Excel文件中。
该问题的复杂性主要体现在：
螺旋路径的构建：需要基于螺线方程来描述龙头的运动轨迹。
板凳龙的结构特性：每节板凳通过固定长度连接，需保证各节板凳保持固定的相对距离和角度关系。
动态速度计算：龙头保持恒定速度，而每节板凳的速度受其位置变化影响，不同位置的板凳速度各不相同。
问题二：舞龙队沿问题1 设定的螺线盘入，请确定舞龙队盘入的终止时刻，使得板凳之间不发生碰撞（即舞龙队不能再继续盘入的时间），并给出此时舞龙队的位置和速度，将结果存放到文件result2.xlsx 中（模板文件见附件）。同时在论文中给出此时龙头前把手、龙头后面第1、51、101、151、201 条龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度。
碰撞条件： 需要确定板凳之间的碰撞条件，即两节相邻板凳不能太过接近。通过螺线的轨迹，可以检测每节板凳之间的最小距离。
模拟： 使用问题1中的运动模型，随着时间推移计算板凳之间的距离，直到发现最近距离小于某一临界值（例如考虑板凳的宽度等）时，停止计算。
终止时刻与状态： 确定舞龙队无法再继续盘入时的时刻，并给出龙头及特定龙身节的最终位置和速度。
问题三：确定最小螺距，使龙头能够盘入到直径为9m的调头空间。
调头空间模型： 以螺线中心为圆心，建立半径为4.5m的圆形区域，作为调头空间边界。
螺距调整： 改变螺距，重新计算龙头沿螺线盘入的路径，直到龙头到达调头空间边界。
优化问题： 这是一个最优化问题，目标是找到最小螺距，既确保龙头进入调头空间，又不发生碰撞。
问题四：舞龙队在调头空间内完成调头，优化S形曲线。
S形曲线模型： 调头路径由两段圆弧构成，需建立圆弧的几何方程，确保曲线与螺线相切。
优化路径： 通过调整圆弧半径和两段圆弧的连接方式，尝试缩短调头路径。可以通过计算曲线长度并引入优化算法求解最短调头路径。
位置与速度模拟： 在调头过程中，对舞龙队的各节板凳进行数值模拟，输出龙头及关键节点的运动信息，并导出 result4.xlsx 文件
问题五：确定龙头的最大行进速度。
速度限制： 要确保舞龙队各节板凳的速度均不超过2 m/s，需要分析随着龙头速度增加时，队伍中最靠近曲线内侧的部分速度会逐渐增大。
仿真与分析： 通过数值仿真，逐步增加龙头速度，记录各节板凳的速度变化，当任意板凳速度接近2 m/s时，记录此时的龙头速度作为最大行进速度。
三、模型假设与符号说明
3.1模型基本假设
- 舞龙队中的所有板凳是刚性的，板凳之间的相对位置保持不变，板凳不能发生形变或弯曲。
- 龙头的速度在问题1中始终保持恒定为1 m/s。
- 舞龙队的运动是连续的，没有中途停止或突然改变速度的情况
3.2符号说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
| θ | 极角 | 弧度 |
| r(θ） | 径向距离 | 米 |
| r0 | 半径 | 米 |
| p | 螺距 | 米 |
| ω | 角速度 | 弧度/米 |
| t | 时间 | 秒 |
四、模型建立与求解
4.1问题一模型建立与求解
4.1.1螺线方程
舞龙队的运动轨迹为等距螺线，可用极坐标系下的螺线方程描述：
其中：
r0为初始时刻（t=0）龙头所在螺线的半径。在本题中，初始时龙头位于第16圈的A点，所以起始半径
，即起始半径为8.8米。
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