【计算机组成原理】详细解读无符号整数的表示与运算

本文主要是介绍【计算机组成原理】详细解读无符号整数的表示与运算，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

定点数的编码表示与运算

导读
一、无符号整数
- 1.1 无符号整型的取值范围
- 1.2 数据在内存中的存储
- 1.3 小结
二、无符号整数的运算
- 2.1 无符号整数的加法
- 2.2 无符号整数的减法
- 2.3 小结
结语

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

在上一篇内容中我们介绍了BCD码的相关内容：

BCD码是用二进制编码的十进制数，通常用4位二进制数表示一位十进制数码；
8421码是一种有权码，二进制数位从高到低对应的权值为 $8 、 4 、 2 、 1$ ;
8421码在进行加法运算时，需要对无效码进行+6修正
余3码是在8421码的基础上加3得到的一种无权码
2421码是一种不同于8421的有权码，二进制数位从高到低对应的权值为 $2 、 4 、 2 、 1$ ;
2421码在进行加法运算时，需要对每一组无效码进行± $0110)_2$ 的修正
涉及到运算时，最好通过十进制数码完成运算后，再对其结果进行转码

BCD码的内容我们仅需了解即可，也不必过分深究。

在今天的内容中，我们将学习计算机中的整数的表示与运算，在学习C语言的过程中，我们知道了整数可以按照有无符号分为有符号整数与无符号整数。

从今天的内容开始，我们将会通过几章的内容来深入探讨有符号整数与无符号整数的表示方式以及运算方式。今天作为开篇，我们将会探讨相对简单的无符号整数的相关内容，接下来让咱们一起进入正题吧！！！

一、无符号整数

有符号与无符号整数对于掌握了C/C++的朋友应该是不陌生了，但是对于一些跨专业且还没有开始学习编程语言的朋友来说可能不太好理解。

下面我先给出一个最直观的理解，有符号无符号指的是数据在内存中所能够表示的数据范围。

以一个整型的数据为例，有符号整型的数据范围是 $2^{-31}～2^{31}-1$ ，而对应的无符号整型的数据范围则是 $0～2^{32}-1$ 。

1.1 无符号整型的取值范围

在C语言中，有符号整型的最大值与最小值以及无符号整型的最大值都存放在头文件<limits.h>中，我们可以通过引用头文件来获取对应的整型最值，如下所示：

无符号整型的表示
这里有朋友可能会好奇为什么最大值+1会得到最小值？

要回答这个问题，那我们就需要再回顾一下计算机结构的知识点了。

1.2 数据在内存中的存储

在计算机的硬件中，负责数据存储的是存储器这一硬件，而存储器又分为主存储器和辅助存储器。计算机系统中的存储器是主存储器，也就是我们所说的内存。

在冯·诺依曼的基本思想中，指令和数据均是由二进制代码表示，而在主存储器中，这些二进制代码都被存放在存储体中；

主存储器的工作方式是按照存储体中各个存储单元的地址进行存取，MAR就是负责寻址的寄存器，它的长度与程序计数器(PC)的长度一致，并且MAR中二进制的位数与存储体中存储单元的个数有关。

如MAR的长度为8位，即能够存放8个比特位，那么对应的存储体中的存储单元的个数就是 $2^8=256$ 个；

而MDR这个寄存器则是用来存放数据的，它的长度则与存储字长相等，如当存储字长为8位时，MDR的长度也为8位，即能够存放长度为8比特位的信息，那么能够存储的整数的数据范围则是：

有符号整数： $2^7～2^7-1$ 即 $- 128 ～ 127$
无符号整数： $0～2^8-1$ 即 $0 ～ 255$

当存入MDR的数据信息长度超过8个比特位时，那么多余的部分则会直接被舍弃，这样就会照成一个结果，数据会被截断，保留的是低位，舍弃的是高位。

也就是说对于256这个数据，其对应的二进制序列为： $1-0000-0000)_2$ 存储器中能够被保留下来的是前8位二进制数，即 $0000-0000)_2$ ，该二进制数对应的数值为0；

而在无符号整数中，当存储的数值为最大值的情况就是对应长度中的所有二进制位都为1，在无符号整型中，对应的二进制为共32个比特位，即这32个比特位存储的数据都是1，其二进制序列为：
$1111-1111-1111-1111-1111-1111-1111-1111)_2$
根据按权展开相加得到的对应数值为： $4, 294, 967, 295$

当我们给该数值再加上一个1后，其数值大小则变成了 $4, 294, 967, 296$ ，该数值对应的二进制数为： $1-0000-0000-0000-0000-0000-0000-0000-0000)_2$

而该二进制数在寄存器中真正能够被存储下来的只有前面的32个比特位，即：
$0000-0000-0000-0000-0000-0000-0000-0000)_2$
该二进制数对应的数值大小为0。

因此我们便得到了最大值+1为最小值的结论。该结论在有符号整型中同样适用，这个我们在后面的内容中会再详细介绍，这里就不再展开。

PS:
这里展示的二进制数之所以用'-'隔开是为了帮助大家更好的计算二进制数的长度，没有其它特别的含义。

1.3 小结

在无符号整数中，我们可以得到以下结论：

在存储字长为n的机器中，无符号整数的取值范围是： $0～2^n-1$
在无符号整数中，二进制位全为0时为最小值，二进制位全为1时为最大值；
当在存储字长为n的机器中存储长度 $> n$ 的数据时，数据会从低位开始进行存储，并只保留前n位，超出的部分将会被舍弃，因此在无符号整数中最大值+1可以得到最小值；

现在我们对无符号整型和有符号整型有了一个初步的认识——它们的区别就是数据的取值范围不同。

那现在问题来了，在计算机中，无符号整数具体是如何进行运算的呢？下面我们接着进行探讨；

二、无符号整数的运算

在今天的内容中，我们主要探讨的是无符号整数的加法和减法是如何通过硬件实现的，对于乘法与除法，目前我们不需要去深究。下面我们就分别来看一下无符号整数的加法与减法的原理；

2.1 无符号整数的加法

无符号整数的加法实现还是比较简单的，其加法规则为：

从最低位开始，按位相加，逢二进一

就比如现在我们要进行 $01010101)_2$ 与 $00111111)_2$ 这两个无符号整数的加法，其对应的运算过程如下所示：

无符号整数的运算
那具体是不是呢？下面我们通过该式子对应的十进制算式来进行验证；

根据按权展开相加法，我们不难得到：

$01010101)_2 = 0×2^7+1×2^6+0×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=64+16+4+1=(85)_{10}$
$00111111)_2 = 0×2^7+0×2^6+1×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=32+16+8+4+2+1=(63)_{10}$
$10010100)_2 = 1×2^7+0×2^6+0×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0=128+16+4=(148)_{10}$

对应的十进制数值的加法运算 $85)_{10}+(63)_{10}=(148)_{10}$ ，因此该运算方法是正确的。

2.2 无符号整数的减法

在计算机中，当我们要实现无符号整数的减法时，实际上还是通过加法来实现的，就比如十进制算式： $8 - 5 = 8 + (- 5)$ ，为了因此为了实现减法操作，计算机会在进行减法操作时，先将减数进行特殊处理后，再通过加法规则来完成减法操作。

当我们要计算 $A - B$ 时，这里需要注意的几个点是：

$A$ 是被减数， $B$ 是减数；
$B$ 在进行减法操作前，需要进行全部二进制位的按位取反再加1的特殊处理
在执行减法时，实际上执行的是 $A + (～ B + 1)$ ，这里的 '~' 是C语言中的按位取反操作符

下面我们通过一组实例来进一步理解这个过程。如我们要计算 $10010100)_2-(01010101)_2$ ，介绍加法时，我们已经介绍过了，这里实际上计算的是 $148)_{10}-(85)_{10}$ 其结果应该是 $63)_{10}$ 对应的二进制数为 $00111111)_2$ ，下面我们就来按照实际的计算过程来验证一下：