本文主要是介绍一种极简的余弦定理证明方法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
余弦定理的证明方法有很多种，这里介绍一种极简的证明方法。该方法是本人在工作中推导公式，无意中发现的。证明非常简单，下面简单做下记录。
如上图为任意三角形ABC，以点C为原点，建立直角坐标系（x轴方向任意，y轴与x轴垂直），x轴与CB夹角为 θ 1 \theta_1 θ1，x轴与CA夹角为 θ 2 \theta_2 θ2。点B的坐标为 ( a c o s θ 1 , a s i n θ 1 ) (acos\theta_1, asin\theta_1) (acosθ1,asinθ1)，点A的坐标为 ( b c o s θ 2 , b s i n θ 2 ) (bcos\theta_2, bsin\theta_2) (bcosθ2,bsinθ2)。
求AB两点的距离：
∣ ∣ A B ∣ ∣ = c = ( b c o s θ 2 − a c o s θ 1 ) 2 + ( b s i n θ 2 − a s i n θ 1 ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ( c o s θ 2 c o s θ 1 + s i n θ 2 s i n θ 1 ) = a 2 + b 2 − 2 a b c o s ( θ 2 − θ 1 ) = a 2 + b 2 − 2 a b c o s C (1) ||AB||=c=\sqrt{(bcos\theta_2-acos\theta_1)^2+(bsin\theta_2-asin\theta_1)^2} \\ = \sqrt{a^2+b^2-2ab(cos\theta_2cos\theta_1+sin\theta_2sin\theta_1)} \\ = \sqrt{a^2+b^2-2abcos(\theta_2-\theta_1)}=\sqrt{a^2+b^2-2abcosC} \tag 1 ∣∣AB∣∣=c=(bcosθ2−acosθ1)2+(bsinθ2−asinθ1)2=a2+b2−2ab(cosθ2cosθ1+sinθ2sinθ1)=a2+b2−2abcos(θ2−θ1)=a2+b2−2abcosC(1)
式(1)两边平方得到余弦定理：
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s C (2) c^2=a^2+b^2-2abcosC \tag 2 c2=a2+b2−2abcosC(2)
若 C = π / 2 C=\pi/2 C=π/2， c o s C = 0 cosC=0 cosC=0,由式(2)得到勾股定理：
c 2 = a 2 + b 2 (3) c^2=a^2+b^2 \tag 3 c2=a2+b2(3)
勾股定理可以认为是余弦定理的特例。证毕。
这篇关于一种极简的余弦定理证明方法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
