本文主要是介绍Python和C++(CUDA)及Arduino雅可比矩阵导图，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
🎯要点
- 对比三种方式计算
- 读取二维和三维三角形四边形和六面体网格
- 运动学奇异点处理
- 医学图像成像组学分析
- 特征敏感度增强
- 机械臂路径规划和手臂空间操作变换
- 苹果手机物理稳定性中间轴定理
Python雅可比矩阵
多变量向量值函数的雅可比矩阵推广了多变量标量值函数的梯度，而这又推广了单变量标量值函数的导数。换句话说，多变量标量值函数的雅可比矩阵是其梯度（的转置），而单变量标量值函数的梯度是其导数。
在函数可微的每个点，其雅可比矩阵也可以被认为是描述函数在该点附近局部施加的“拉伸”、“旋转”或“变换”量。例如，如果使用 ( x ′ , y ′ ) = f ( x , y ) \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)= f (x, y) (x′,y′)=f(x,y) 平滑变换图像，则雅可比矩阵 J f ( x , y ) J _{ f }( x, y) Jf(x,y)，描述了 ( x , y ) (x, y) (x,y)邻域中的图像如何变换。如果函数在某点可微，其微分在坐标系中由雅可比矩阵给出。然而，函数不需要可微才能定义其雅可比矩阵，因为只需要存在其一阶偏导数。
考虑以下向量函数，该函数将 n n n 维向量 x ∈ R n x \in R ^n x∈Rn 作为输入，并将该向量映射到 m m m 维向量：
f ( x ) = [ f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) ] f ( x )=\left[\begin{array}{c} f_1\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ f_2\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ \vdots \\ f_m\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \end{array}\right] f(x)= f1(x1,x2,x3,…,xn)f2(x1,x2,x3,…,xn)⋮fm(x1,x2,x3,…,xn)
其中向量 x x x 定义为
x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] x =\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] x= x1x2⋮xn
非线性向量函数 f f f 产生 m m m 维向量
[ f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) ] \left[\begin{array}{c} f_1\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ f_2\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ \vdots \\ f_m\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \end{array}\right] f1(x1,x2,x3,…,xn)f2(x1,x2,x3,…,xn)⋮fm(x1,x2,x3,…,xn)
其条目是 m m m 函数 f i , i = 1 , 2 , … , n f_i, i=1,2, \ldots, n fi,i=1,2,…,n，将向量 x x x 的条目映射为标量数。
函数 f ( ⋅ ) f (\cdot) f(⋅) 的雅可比矩阵是 m m m × n n n 维偏导数矩阵，定义为
∂ f ∂ x = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ∂ f m ∂ x 2 … ∂ f m ∂ x n ] \frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array}\right] ∂x∂f= ∂x1∂f1∂x1∂f2⋮∂x1∂fm∂x2∂f1∂x2∂f2⋮∂x2∂fm⋯⋯…∂xn∂f1∂xn∂f2⋮∂xn∂fm
该矩阵的第一行由 f 1 ( ⋅ ) f_1(\cdot) f1(⋅) 分别相对于 x 1 、 x 2 、 … 、 x n x_1、x_2、\ldots、x_n x1、x2、…、xn 的偏导数组成。类似地，该矩阵的第二行由 f 2 ( ⋅ ) f_2(\cdot) f2(⋅) 分别相对于 x 1 、 x 2 、 … 、 x n x_1、x_2、\ldots、x_n x1、x2、…、xn 的偏导数组成。以同样的方式，我们构造雅可比矩阵的其他行。
在这里，我们展示了用于符号计算雅可比矩阵和创建 Python 函数的 Python 脚本，该函数将返回给定输入向量 x x x 的雅可比矩阵的数值。为了验证 Python 实现，让我们考虑以下测试用例函数
f = [ x 1 x 2 sin ( x 1 ) cos ( x 3 ) x 3 e x 4 ] f =\left[\begin{array}{c} x_1 x_2 \\ \sin \left(x_1\right) \\ \cos \left(x_3\right) \\ x_3 e^{x_4} \end{array}\right] f= x1x2sin(x1)cos(x3)x3ex4
其中 x x x 是
x = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] x =\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] x= x1x2x3x4
且
f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 x 2 f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = sin ( x 1 ) f 3 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = cos ( x 3 ) f 4 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 3 e x 4 \begin{aligned} & f_1\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_1 x_2 \\ & f_2\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\sin \left(x_1\right) \\ & f_3\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\cos \left(x_3\right) \\ & f_4\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_3 e^{x_4} \end{aligned} f1(x1,x2,x3,x4)=x1x2f2(x1,x2,x3,x4)=sin(x1)f3(x1,x2,x3,x4)=cos(x3)f4(x1,x2,x3,x4)=x3ex4
该函数的雅可比行列式是
∂ f ∂ x = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ∂ f 1 ∂ x 3 ∂ f 1 ∂ x 4 ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ x 3 ∂ f 2 ∂ x 4 ∂ f 3 ∂ x 1 ∂ f 3 ∂ x 2 ∂ f 3 ∂ x 3 ∂ f 3 ∂ x 4 ∂ f 4 ∂ x 1 ∂ f 4 ∂ x 2 ∂ f 4 ∂ x 3 ∂ f 4 ∂ x 4 ] \frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{llll} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} & \frac{\partial f_1}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} & \frac{\partial f_2}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3} & \frac{\partial f_3}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_4}{\partial x_1} & \frac{\partial f_4}{\partial x_2} & \frac{\partial f_4}{\partial x_3} & \frac{\partial f_4}{\partial x_4} \end{array}\right] ∂x∂f= ∂x1∂f1∂x1∂f2∂x1∂f3∂x1∂f4∂x2∂f1∂x2∂f2∂x2∂f3∂x2∂f4∂x3∂f1∂x3∂f2∂x3∂f3∂x3∂f4∂x4∂f1∂x4∂f2∂x4∂f3∂x4∂f4
通过计算这些偏导数，我们得到
∂ f ∂ x = [ x 2 x 1 0 0 cos ( x 1 ) 0 0 0 0 0 − sin ( x 3 ) 0 0 0 e x 4 x 3 e x 4 ] \frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{cccc} x_2 & x_1 & 0 & 0 \\ \cos \left(x_1\right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sin \left(x_3\right) & 0 \\ 0 & 0 & e^{x_4} & x_3 e^{x_4} \end{array}\right] ∂x∂f= x2cos(x1)00x100000−sin(x3)ex4000x3ex4
import numpy as np
from sympy import *init_printing()x=MatrixSymbol('x',4,1)
f=Matrix([[x[0]*x[1]],[sin(x[0])],[cos(x[2])],[x[2]*E**(x[3])]])JacobianSymbolic=f.jacobian(x)
JacobianFunction=lambdify(x,JacobianSymbolic)
testCaseVector=np.array([[1],[1],[1],[1]])
JacobianNumerical=JacobianFunction(testCaseVector)
定义符号向量“x”如下
x=MatrixSymbol('x',4,1)
非线性向量函数“f”定义为
=Matrix([[x[0]*x[1]],[sin(x[0])],[cos(x[2])],[x[2]*E**(x[3])]])
JacobianSymbolic=f.jacobian(x)
JacobianFunction=lambdify(x,JacobianSymbolic)
测试向量处评估雅可比行列式。
testCaseVector=np.array([[1],[1],[1],[1]])
JacobianNumerical=JacobianFunction(testCaseVector)
存储在“JacobianNumerical”中的结果是一个 NumPy 数值数组（矩阵），可用于进一步计算。
示例：TensorFlow雅可比矩阵
%tensorflow_version 1.x
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.optimizers import SGD
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm
import tensorflow as tfnp.random.seed (245)
nobs =10000x1= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x2= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x3= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x4= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x5= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)X= np.c_[np.ones((nobs ,1)),x1,x2,x3,x4,x5]y= np.cos(x1) + np.sin(x2) + 2*x3 + x4 + 0.01*x5 + np.random.normal(size=nobs , scale=0.01)LR=0.05Neuron_Out=1
Neuron_Hidden1=64
Neuron_Hidden2=32Activate_output='linear'
Activate_hidden='relu' Optimizer= SGD(lr=LR)
loss='mean_squared_error'from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train , x_test , y_train , y_test = train_test_split(X, y, test_size =0.15, random_state =77)from tensorflow import set_random_seed
set_random_seed (245)sess = tf.InteractiveSession()
sess.run(tf.initialize_all_variables())model_ANN= Sequential()model_ANN.add(Dense(Neuron_Hidden1, activation=Activate_hidden, input_shape=(6,), use_bias=True))
model_ANN.add(Dense(Neuron_Hidden2, activation=Activate_hidden, use_bias=True))model_ANN.add(Dense(Neuron_Out, activation=Activate_output,use_bias=True))
model_ANN.summary()model_ANN.compile(loss=loss, optimizer=Optimizer, metrics=['accuracy'])history_ANN=model_ANN.fit(
x_train,
y_train,
epochs=125)def jacobian_tensorflow(x):jacobian_matrix = []for m in range(Neuron_Out):grad_func = tf.gradients(model_ANN.output[:, m],model_ANN.input)gradients = sess.run(grad_func, feed_dict={model_ANN.input: x}) jacobian_matrix.append(gradients[0][0,:])return np.array(jacobian_matrix)jacobian_tensorflow(x_train)
👉更新：亚图跨际
这篇关于Python和C++(CUDA)及Arduino雅可比矩阵导图的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
