UVA 12297 Super Poker（矩阵快速幂）

本文主要是介绍UVA 12297 Super Poker（矩阵快速幂），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

想到了一个递推式

$$f(n, k) = f(n-k, k) + f(n-k, k-1) * 4 + f(n-k, k-2) * 6 + f(n-k, k-3) * 4 + f(n-k, k-4)$$
这里 $f(n, k)$表示用k张牌组成和为N的方案数，在递推的时候考虑一共有多少张1。
①考虑有0张1：这时就相当于用k张没有任何限制的牌组成和为 $n-k$，然后将每张牌的点数+1，这样自然就没有1了，这部分的方案数是 $f(n-k, k)$；
②考虑有1张1：这时就相当于用k-1张没有任何限制的牌组成和为n-k，然后将每张牌的点数+1，这样也就没有1了，这时总和是n-1，再从4张1种任选一张1就可以使总和为n，这样就恰好用了k张牌，而且k张牌中只有1个1，这部分的方案数是 $f(n-k, k-1) * C(4,1)$，也就是 $f(n-k, k-1) * 4$；
③考虑有2张1：……（剩下的情况类似，就不再赘述了）。
但是N比较大，从而使用矩阵快速幂加速计算
矩阵的构造方法比较麻烦，我的思路是这样的
一般的矩阵快速幂都是用来优化一维的递推式，但是我们现在的是二维的递推式，但是因为二维的递推式的列数是相同的，所以我们可以考虑将 $f(n,k)\dots f(n,0)、f(n-1,k)\dots f(n-1,0)\dots f(0,0)$这样展开来，从而维持了一维的特性。
同时呢，因为转移的时候是从 $f(n-k,**)\rightarrow f(n,k)$那么我们的快速幂至少要有从最开始到第k项的值
那么这么一想我们就可以构造转移了，只要控制好转移的距离就行了。

//By LH
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;
const int MOD = 1e9+9;
const int d[5] = {1, 4, 6, 4, 1};int N, K;
LL ans;
LL f[15][15];
LL a[115][115], b[115][115], c[115][115];void calc()
{memset(f[0], 0, sizeof(f[0]));f[0][0] = 1;for(int i = 1; i <= 10; i ++)for(int j = 1; j <= 10; j ++){f[i][j] = 0;if(i >= j){for(int k = 0; k < 5; k ++)if (j - k >= 0) f[i][j] = (f[i][j] + d[k] * f[i - j][j - k]) % MOD;}}
}int main()
{calc();while (scanf("%d %d", &N, &K) != EOF){if (N+K == 0) break;ans = 0;if(N <= 10){for(int i = 1; i <= K; i ++)ans = (ans + f[N][i]) % MOD;printf("%lld\n", ans);continue;}memset(a, 0, sizeof(a));for(int i = 0; i < K; i++)for(int j = 0; j <= K; j++)a[i * (K + 1) + j][0] = f[K - 1 - i][j];memset(b, 0, sizeof(b));for(int j = 1; j <= K; j++){for(int k = 0; k < 5; k++)if (j-k >= 0) b[j][(j - 1) * (K + 1) + j - k] = d[k];}for(int i = 1; i < K; i ++)for(int j = 0; j <= K; j ++)b[i * (K + 1) + j][(i - 1) * (K + 1) + j] = 1;int tmp = N-K+1;while (tmp){if (tmp&1){memset(c, 0, sizeof(c));for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)for (int j = 0; j < K*(K+1); j++)for (int k = 0; k < K*(K+1); k++)c[i][j] = (c[i][j] + b[i][k]*a[k][j])%MOD;for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)for (int j = 0; j < K*(K+1); j++) a[i][j] = c[i][j];}memset(c, 0, sizeof(c));for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)for (int j = 0; j < K*(K+1); j++)for (int k = 0; k < K*(K+1); k++)c[i][j] = (c[i][j] + b[i][k]*b[k][j])%MOD;for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)for (int j = 0; j < K*(K+1); j++) b[i][j] = c[i][j];tmp >>= 1;}for (int i = 1; i <= K; i++) ans = (ans+a[i][0])%MOD;printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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