从网易校招编程题谈起，轻松理解有趣的0-1背包问题

本文主要是介绍从网易校招编程题谈起，轻松理解有趣的0-1背包问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

从网易的一道算法题开始

最近在准备春招实习，偶然做到网易的一道编程题，一方面找了很多博客看的云里雾里，这里特别写下解题的思路和逻辑，一方面加深印象，另一方面供需要的你学习参考。好了，话不多说，开始吧。本文提供思路，并给出Java代码实现例子，供大家参考。

先睹为快

来源：网易2017春招笔试真题编程题时间限制：1秒空间限制：32768K

一种双核CPU的两个核能够同时的处理任务，现在有n个已知数据量的任务需要交给CPU处理，假设已知CPU的每个核1秒可以处理1kb，每个核同时只能处理一项任务。n个任务可以按照任意顺序放入CPU进行处理，现在需要设计一个方案让CPU处理完这批任务所需的时间最少，求这个最小的时间。

输入描述: 输入包括两行：第一行为整数n(1 ≤ n ≤ 50) ，第二行为n个整数length[i](1024 ≤ length[i] ≤ 4194304)，表示每个任务的长度为length[i]kb，每个数均为1024的倍数。

输出描述: 输出一个整数，表示最少需要处理的时间

输入例子1: 5 3072 3072 7168 3072 1024

输出例子1: 9216

思路分析：

由题目分析可以知道，核1和核2同时工作的问题，我们可以分成两种情况进行考虑。
题设：总处理任务时间为SUM，核1处理时间为sum1，核2处理时间为sum2，CPU处理时间为：runtime
1. 理想化情况：在理想的情况可以将任务处理长度分成两组，这两组的消耗时长相同（即sum1=sum2），此时CPU处理的时间为： SUM/2
2. 不理想理想：此时仍然分成两组，但sum1≠sum2，这时候CPU的处理时间runtime = max{sum1,sum2}。很显然的是，核1与核2处理总时间之和是固定的，即为全部作业总耗时。很容易转化为：找到一种分配方法，使得核1与核2处理作业耗时只差最短。综上所述：让sum1和sum2更加接近SUM/2即可达到最小的CPU处理时间的目的。

转化为0-1背包问题求解：

根据动态规划中的0-1背包问题原理，上述问题也可以进行转化：
即可转化为0-1背包问题：若完成任务总共花费的时间应该为t,不过由于是双核，要以最短时间完成任务，应该使得两核花费的时间最接近，也就是最接近t/2,最好情况下就是两核花费时间都为t/2了。设背包容量是sum/2. 每个物体的体积是数的大小，然后尽可能的装满背包。

好这里就简单论述，不做具体展开，看不懂也没关系，我们往下深入解析背包问题，再回过头来看。

0-1背包问题理解（Knapsack）

假定背包的最大容量为W，N件物品，每件物品都有自己的价值和重量，将物品放入背包中使得背包内物品的总价值最大。

从一个场景分析

可以想象这样一个场景：小偷带着一个包来偷东西，背包的重量有限（W），屋子里物品数量有限（N），每件物品都具有一定的重量（w[ ]）和价值（v[ ]），对于一件物品他只能选择带走或者不带走。

变量设定
Knapsack Max weight(背包容量) : W = 10 (units)
Total items(物品总件数) : N = 4
Values of items(物品价值) : v[] = {10, 40, 30, 50}
Weight of items(物品重量) : w[] = {5, 4, 6, 3}

从示例数据大致估算一下，最大重量为10时（W=10）背包能容纳的物品最大价值为50+40=90，重量为7。

解决方案

这是一个典型的动态规划算法问题：先得到该问题的局部解然后扩展到全局问题解。

我们可以假设一个B(k,C) 方法，第k件物品，当前背包所剩下的容量C（初始则C=W）情况下，能够偷的最大价值量。
时对于每件物品关于偷与不偷可以分成以下3种情况：

B (k, C) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B (k - 1, C) 商 品 太 重 了 ， 偷 不 了 该 商 品 m a x = {B (k - 1, C - w k) + v k B (k - 1, C) 偷 该 商 品 不 偷 该 商 品

$B(k,C) =\begin{cases} B(k-1,C) 商品太重了，偷不了该商品\\ \\ max=\begin{cases}B(k-1,C-w_k) +v_k & 偷该商品 \\B(k-1,C) &不偷该商品 \end{cases} \end{cases}$

通过这个公式，我们可以对着三种情况作简单描述：
1. 当商品太重时，背包剩余的容量无法容纳物品（ $C<w_i$ ）时候，无法偷该件物品，考虑下一个物品。
2. 当背包剩余的容量可以容纳物品时（可以选择偷或者不偷）：
- 不偷该商品，则排除当前物品，考虑下一个物品；
- 偷该商品，则扣除相应的物品容量，并加上获取的价值，接着考虑下一个。

由以上方法我们可以看出是一个递归的方式，直到B方法为0，求解结束，最优解即为B(N,W)。
这就是背包方法背后的数学公式，从局部求解从而实现全局问题的求解。

接下来我们通过二位数组可视化进行（以上文给到的变量设定作为模拟数据）最优求解：

enter image description here

构建物品在不同重量时的价值数组B(Value数组)：B[N][W] = 4 rows * 10 columns，该矩阵中的每个值的求解都代表一个更小的背包问题。（行方向代表着不同的物品，列方向表示当前不同的背包剩余容量，一般动态规划都是从B[1][1]元素开始行方向上遍历）

初始情况一：对于第0列，它的含义是背包的容量为0。此时物品的价值呢？没有。因此，第一列都填入0。
初始情况二：对于第0行，它的含义是屋内没有物品。那么没有任何物品的背包里的价值多少呢？还是没有！所有都是0。
B[k][C]的含义 ：以图中红色框中的40为例，代表的含义为：B(2,5)情况下的最大值为40。

回到网易的编程题

// 核心代码 
int[][] B = new int[N + 1][W + 1];
for (int k = 1; k <= N; k++) {for (int C = 1; C <= W; C++) {if(w[k] > C){ // 如果当前物品重量大于当前背包剩余容量Capacity则偷不了，考虑下一个商品
            B[k][C] = B[k-1][C];
        }
        else{ // 如果背包容量大于物品，则两种情况下选出最大值
            int value1 = B[k-1][C];  // 不偷
            int value2 = B[k-1][C-w[k]] + w[k]; // 偷
            B[k][C] = Math.max(value1,value2);
        }
    }
}

Java代码实现

import java.lang.*;
import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {int N = 0;Scanner scanner = new Scanner(System.in);N = Integer.valueOf(scanner.nextLine());int[] w = new int[N+1]; // 存放所有任务int sum = 0;for (int i = 1; i < N+1; i++) {w[i] = scanner.nextInt()/1024;sum += w[i];}int W = sum /2;int[][] B = new int[N + 1][W + 1];for (int k = 1; k <= N; k++) {for (int C = 1; C <= W; C++) {if(w[k] > C){ // 如果当前物品重量大于当前背包剩余容量Capacity则偷不了，考虑下一个商品B[k][C] = B[k-1][C];}else{ // 如果背包容量大于物品，则两种情况下选出最大值int value1 = B[k-1][C];  // 不偷int value2 = B[k-1][C-w[k]] + w[k]; // 偷B[k][C] = Math.max(value1,value2);}}}System.out.print(Math.max(B[N][sum / 2], sum - B[N][sum / 2]) * 1024);}
}