扔鸡蛋问题-经典动态规划问题

本文主要是介绍扔鸡蛋问题-经典动态规划问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题目
一幢 100 层的大楼，给你2个鸡蛋，如果在第 n 层扔下鸡蛋，鸡蛋不碎，那么从第 n-1 层扔鸡蛋，都不碎。这两只鸡蛋一模一样，不碎的话可以扔无数次，且鸡蛋在0层不会碎。设计一种策略能保证可以测出鸡蛋恰好会碎的楼层，且如果该策略是最坏的情况所扔次数最少

一、概述

思维分析
首先我们需要确定最坏情况是什么样子的。
假设n是我们的决定第一次尝试的楼层，第一个鸡蛋从n层开始扔。

如果没有坏，那么我们就可以从[n+1,100]这个区间扔鸡蛋了，这个时候怎么扔就是我们需要考虑的策略。
但是如果运气比较背，鸡蛋坏了_!那么这个时候我们就只有一个鸡蛋了，所以为了满足我们要测出恰好会碎的楼层，我们只能从1楼一直扔到n-1楼。这个时候我们的最坏情况就是n次。
鸡蛋没有坏该怎么选择第二次以及以后扔鸡蛋的策略呢？
由于没有碎，所以第n层对于我们而言和第0层是一样一样的，所以我们不能采用一层一层增加的方式扔鸡蛋！因为有两个鸡蛋，比较任性。下面提出几个合理的假设，然后分析：

增加n层：碎了的话，最坏情况就是我们还要扔2n-n-1+2=n+1次，这个时候最坏情况比第一次还坏，而且照这个趋势下去，最坏情况只会越来越坏，是不可控的，所以这种策略抛弃。
增加大于n层：和增加n层一样，如果第一个鸡蛋碎了那最坏情况就是越来越坏，且比增加n层更坏（可以自己做个简单的算术推导一下）。
增加小于n层：随着n的不断减小，最坏情况下需要仍的次数恒定为n是不会变的（因为第一次就碎了，对于这种情况就是最坏情况）。那么我们需要考虑的是如何使扔的次数最少，想想看，果断取n-1，这样既保证了快速找到刚好碎的楼层，又保证了最坏情况扔的次数最少。
所以我们最后的策略是增加n-1层。
以上就是一个分析过程，对于第三次，第四次….都可以递归的进行分析。
由于最好情况是第一个鸡蛋一直扔到了100层，而100层与n之间是有一个函数关系的，下面就可以列出一个等式：
n+(n-1)+(n-2)+…+1=100=n(n+1)/2
所以n约等于14
所以第一次从第十四层开始扔，最坏情况就是第一次就碎了，然后需要从1楼开始一层一层的扔，共扔14次。

二、编程实现

import java.util.Scanner;public class Main {//(1)动态规划法:  该算法的空间复杂度是O(nk)，时间复杂度是O(nk^2) n表示鸡蛋数，k代表楼层数public static int  dropEggs(int eggs,int floors) {//第一步永远是创建动态规划的备忘录,也叫状态转移矩阵//记住：二维数组里的length是0-start的，又因为包含层数为0或鸡蛋为0的情况，所以定义行高和列宽的时候自然要加1int[][]dp=new int[eggs+1][floors+1];//第二步永远是考虑边界，也就是初始化动态规划的备忘录//先考虑eggs的边界for(int i=0;i!=floors+1;i++) {//首先是eggs=0的情况dp[0][i]=0;//然后是eggs=1的情况//eggs=1的时候，肯定是从第0层一直往上实验dp[1][i]=i;}//再考虑floors的边界for(int i=1;i!=eggs+1;i++) {//首先是floors=0的情况dp[i][0]=0;//然后是floors=1的情况dp[i][1]=1;}//第三步就是状态方程了//找递推过程中的两个紧邻步骤之间的关系，如何由子结果得到母结果//首先，鸡蛋要从2个开始算，因为0个和1个情况你已经考虑完了for(int egg=2;egg!=eggs+1;egg++) {//楼层有多高要从2层起步，因为0层和1层的情况你也考虑完了for(int floor=2;floor!=floors+1;floor++) {//看这里！这里就是你还有egg个鸡蛋，一共有floor层的子问题！//这里定义一个变量来存储最终结果，找到在哪层扔能达到所扔次数最少的目标int result=Integer.MAX_VALUE;for(int drop=1;drop!=floor+1;drop++) {//这里！就是在当前子问题中，你从第drop层扔鸡蛋的情况！//第一种情况，哎呀~碎了！那么剩下的问题就转化成了如何在drop-1层，用egg-1个鸡蛋寻找最优int broken=dp[egg-1][drop-1];//第二种请看，卧槽~没碎！问题就转化成了如果再floos-drop层，用egg个鸡蛋寻找最优解int unbroken=dp[egg][floor-drop];//两种情况我肯定要取最大值，因为我根本不确定鸡蛋会不会碎，我特么又不是先知int condition=Math.max(broken, unbroken)+1;//不断的和上一次的结果做比较，只为得到最优的结果，最少的扔鸡蛋次数！result=Math.min(condition, result);}//当前子问题（当我有egg个鸡蛋，一共有floor层时）已经for循环完了！撒花~~接下来，就是把结果存到我们的结果矩阵里了！dp[egg][floor]=result;}}//以上的步骤在不断的往状态矩阵（我把它称作装满结果的大盘子！）填充结果！到这里已经都填充完毕，我们自然就可以取到我们想要的结果啦return dp[eggs][floors];}//(2)公式法   递推公式法public static int  dropEggs2(int eggs,int floors) {int times = 1;  while(DroppingMax(eggs, times) < floors)  {  ++times;  }  return times; }public static int DroppingMax( int eggs, int  times)  {  if(eggs == 1)  {  return times;  }  if(eggs >= times)  {  return (int)Math.pow(2, times) - 1;  }  return DroppingMax(eggs, times -1) + DroppingMax(eggs -1, times - 1) + 1;  }  public static void main(String[] args) {Scanner sin =new Scanner(System.in);while(sin.hasNext()) {String[]temp=sin.nextLine().split("\\s+");int eggs=Integer.parseInt(temp[0]);int floors=Integer.parseInt(temp[1]);// System.out.println(dropEggs(eggs,floors));System.out.println(dropEggs2(eggs,floors));}}
}