证：单位冲激函数（连续）和单位脉冲函数（离散）的拉普拉斯/Z变换 皆为 “1”

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输入信号 ( x(t) = \delta(t) ) 的拉普拉斯变换为 ( X(s) = 1 ) 是因为单位冲激函数 (\delta(t)) 的拉普拉斯变换有一个特殊且重要的性质。【在离散时间系统中，拉普拉斯变换的离散对应物是Z变换。】

单位冲激函数 (\delta(t)) 的定义

单位冲激函数（Dirac Delta 函数） (\delta(t)) 的定义是：

1. (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 处具有无限大值，但在 ( t \neq 0 ) 处为零。
2. (\delta(t)) 的面积为 1，即：
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$$

拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换的定义为：
$$X(s)={\int }_0^{\infty }x(t)e^{-st}dt$$

计算 (\delta(t)) 的拉普拉斯变换

对于 ( x(t) = \delta(t) )，我们将其代入拉普拉斯变换的定义：
$$X(s)={\int }_0^{\infty }\delta (t)e^{-st}dt$$

根据单位冲激函数的性质，(\delta(t)) 只有在 ( t = 0 ) 处有值，其值为无限大，但其积分面积为1。由于 (\delta(t)) 仅在 ( t = 0 ) 处有值，积分的上限可以变为 (\epsilon)（(\epsilon) 是一个非常小的正数），所以：
$$X(s)={\int }_0^{ϵ}\delta (t)e^{-st}dt$$

因为 ( e^{-st} ) 在 ( t = 0 ) 处等于 1（( e^{0} = 1 )），且 (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 处的积分面积为1，所以我们可以将 ( e^{-st} ) 看作一个常数1，提到积分外面：
$$X(s)=e^0{\int }_0^{ϵ}\delta (t)dt$$
$$X(s)=1\cdot {\int }_0^{ϵ}\delta (t)dt$$

根据单位冲激函数的定义，(\delta(t)) 的积分面积为1：
$$X(s)=1\cdot 1$$
$$X(s)=1$$

因此，单位冲激函数 (\delta(t)) 的拉普拉斯变换为 ( X(s) = 1 )。

这个性质是因为单位冲激函数在时域上具有独特的特性，即在 ( t = 0 ) 处有一个无穷大的值，但其面积为1，所以它的拉普拉斯变换非常简单，就是常数1。

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