本文主要是介绍四种信号在时域和频域之间的对应关系（连续周期/非周期、离散周期/非周期）（拉普拉斯、Z变换），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
1. 连续周期时间信号
- 时域：连续周期时间信号可以理解为一种在时间上重复的波形，比如正弦波或余弦波。
- 频域：在频域中，这种信号可以分解为一系列不同频率的正弦波的叠加。每个正弦波对应一个频率和一个复数系数 (C_n)，这些系数告诉我们各个频率成分的强度和相位。
公式解释：
- x ~ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n ⋅ e j n ω 0 t \tilde{x}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \cdot e^{jn\omega_0 t} x~(t)=n=−∞∑∞Cn⋅ejnω0t 这表示信号 (\tilde{x}(t)) 可以看作是无穷多个频率为 (n\omega_0) 的正弦波的叠加。
- C n = 1 T 0 ∫ 0 T 0 x ~ ( t ) e − j n ω 0 t d t C_n = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} \tilde{x}(t) e^{-jn\omega_0 t} \, dt Cn=T01∫0T0x~(t)e−jnω0tdt 这个公式用于计算每个频率成分的系数 (C_n)。
2. 连续非周期时间信号
- 时域：这种信号在时间上是不重复的，比如单次脉冲或非重复的波形。
- 频域：在频域中，这种信号可以用一个连续的频率范围来表示，每个频率对应一个复数值 (X(j\omega))，表示该频率成分的强度和相位。
公式解释：
- x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \, d\omega x(t)=2π1∫−∞∞X(jω)ejωtdω 这个公式表示信号 (x(t)) 可以通过所有频率成分的正弦波的叠加来表示。
- X ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} \, dt X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt 这个公式用于计算信号 (x(t)) 在频域中的表示 (X(j\omega))。
3. 离散周期时间信号
- 时域：这种信号是离散的且周期性的，比如离散的正弦波。
- 频域：在频域中，这种信号可以分解为一系列不同频率的离散频率成分，每个成分对应一个复数值 (\tilde{X}[m])。
公式解释：
- x ~ [ k ] = 1 N ∑ m = 0 N − 1 X ~ [ m ] e j Ω m k \tilde{x}[k] = \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} \tilde{X}[m] e^{j\Omega_m k} x~[k]=N1m=0∑N−1X~[m]ejΩmk 这个公式表示离散信号 (\tilde{x}[k]) 可以通过 (N) 个不同频率的正弦波的叠加来表示。
- X ~ [ m ] = ∑ k = 0 N − 1 x ~ [ k ] e − j 2 π N m k \tilde{X}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{x}[k] e^{-j \frac{2\pi}{N} mk} X~[m]=k=0∑N−1x~[k]e−jN2πmk 这个公式用于计算每个频率成分的值 (\tilde{X}[m])。
4. 离散非周期时间信号
- 时域：这种信号是离散的且不重复的，比如一串离散的脉冲。
- 频域：在频域中，这种信号可以表示为一个连续的频率范围内的离散频率成分。
公式解释：
- x [ k ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e j Ω ) e j Ω k d Ω x[k] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\Omega}) e^{j\Omega k} \, d\Omega x[k]=2π1∫−ππX(ejΩ)ejΩkdΩ 这个公式表示离散信号 (x[k]) 可以通过所有频率成分的正弦波的叠加来表示。
- X ( e j Ω ) = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] e − j Ω k X(e^{j\Omega}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-j\Omega k} X(ejΩ)=k=−∞∑∞x[k]e−jΩk 这个公式用于计算信号 (x[k]) 在频域中的表示 (X(e^{j\Omega}))。
变换工具：拉普拉斯变换和Z变换
拉普拉斯变换
用于分析连续时间信号，通过将信号从时域转换到频域来简化分析和计算。
- X ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \, dt X(s)=∫−∞∞x(t)e−stdt 计算信号 (x(t)) 的拉普拉斯变换 (X(s))。
- x ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ X ( s ) e s t d s x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) e^{st} \, ds x(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞X(s)estds 计算 (X(s)) 的逆变换得到时域信号 (x(t))。
Z变换
用于分析离散时间信号，通过将信号从时域转换到频域来简化分析和计算。
- X ( z ) = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] z − k X(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} X(z)=k=−∞∑∞x[k]z−k 计算信号 (x[k]) 的Z变换 (X(z))。
- x [ k ] = 1 2 π j ∫ C X ( z ) z k − 1 d z x[k] = \frac{1}{2\pi j} \int_{C} X(z) z^{k-1} \, dz x[k]=2πj1∫CX(z)zk−1dz 计算 (X(z)) 的逆变换得到时域信号 (x[k])。
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