本文主要是介绍背包问题----完全背包(最优方案总数分析及实现)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
本人博文《背包问题----完全背包(详解|代码实现|背包具体物品的求解)》中已详细谈过完全背包问题，同时在博文《背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)》中也总结过01背包的最优方案总数的实现。这里我们模仿01背包最优方案总数方法给出完全背包的最优方案求解方法。
重写完全背包的动态规划的状态及状态方程：
完全背包是在N种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取）放在空间为V的背包里，每种物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对应的价值为W1,W2，…，Wn.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大。
设物品种类为N，背包容量为V，每种物品的体积为C[i]，价值为W[i]。
子问题定义：F[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
状态方程为：
(2-2)
在文章《背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)》中曾定义G[i][j]代表F[i][j]的方案总数。这里我们也做相同的定义，那么最终的结果应该为G[N][V]。
由01背包转变到完全背包后G[i][j]该怎么求？
对于01背包来说，G[i][j]求法如下（摘自：《背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)》）：
如果F[i][j]=F[i-1][j]且F[i][j]!=F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明在状态[i][j]时只有前i-1件物品的放入才会使价值最大，所以第i件物品不放入，那么到状态[i][j]的方案数应该等于[i-1][j]状态的方案数即G[i][j]=G[i-1][j]；
如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]!=F[i-1][j]说明在状态[i][j]时只有第i件物品的加入才会使总价值最大，那么方案数应该等于[i-1][j-C[i]]的方案数，即G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]；
如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]=F[i-1][j]则说明即可以通过状态[i-1][j]在不加入第i件物品情况下到达状态[i][j]，又可以通过状态[i-1][j-C[i]]在加入第i件物品的情况下到达状态[i][j]，并且这两种情况都使得价值最大且这两种情况是互斥的，所以方案总数为G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]+ G[i-1][j]。
对于完全背包，我们也可以根据其状态方程来进行条件判断：
如果F[i][j] = F[i-1][j]且F[i][j] != F[i][j-C[i]]+W[i]，说明背包总不存在第i种物品，也就是说背包种物品仍由前i-1种物品组成，那么应该有G[i][j] = G[i-1][j]；
如果F[i][j] = F[i][j-C[i]]+W[i]且F[i][j] != F[i-1][j]，则说明背包中必定存在第i种物品使背包达到[i][j]状态的最大值，G[i][j] = G[i]
这篇关于背包问题----完全背包(最优方案总数分析及实现)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
