洛谷 P5043 【模板】树同构（[BJOI2015]树的同构）题解 树哈希 树的重心

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【模板】树同构（[BJOI2015]树的同构）

题目描述

树是一种很常见的数据结构。

我们把 $N$ 个点，$N-1$ 条边的连通无向图称为树。

若将某个点作为根，从根开始遍历，则其它的点都有一个前驱，这个树就成为有根树。

对于两个树 $T_1$ 和 $T_2$，如果能够把树 $T_1$ 的所有点重新标号，使得树 $T_1$ 和树 $T_2$ 完全相同，那么这两个树是同构的。也就是说，它们具有相同的形态。

现在，给你 $M$ 个无根树，请你把它们按同构关系分成若干个等价类。

输入格式

第一行，一个整数 $M$。

接下来 $M$ 行，每行包含若干个整数，表示一个树。第一个整数 $N$表示点数。接下来 $N$ 个整数，依次表示编号为 $1$ 到 $N$ 的每个点的父亲结点的编号。根节点父亲结点编号为 $0$。

输出格式

输出 $M$ 行，每行一个整数，表示与每个树同构的树的最小编号。

样例 #1

样例输入 #1

4 
4 0 1 1 2 
4 2 0 2 3 
4 0 1 1 1 
4 0 1 2 3

样例输出 #1

1 
1 
3 
1

提示

编号为 $1,2,4$ 的树是同构的。编号为 $3$ 的树只与它自身同构。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N,M\le 50$。

原题

洛谷P5043——传送门

思路

对于有根树，如果两棵树的哈希值相同，那么二者是同构的。而对于无根树，可以寻找同位点即重心，令重心为根，将其转化为有根树。所以，对于此题，我们只需找到每棵树的所有重心，然后将其哈希值与前面的树的哈希值进行比较即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
typedef long long ll;const int MAX = 56;
vector<int> e[MAX];
vector<pair<int, int>> centre[MAX];
int siz[MAX], maxn[MAX];
int n;int dfs(int u, int fa)
{int res = 0;siz[u] = 0;for (int v : e[u]){if (v != fa){int num = dfs(v, u);siz[u] += num;res = max(res, num);}}maxn[u] = max(res, n - (siz[u] + 1));return siz[u] + 1;
}// 异或哈希
int Hash(int u, int fa)
{int res = 1;vector<int> num;for (int v : e[u]){if (v != fa)num.push_back(Hash(v, u));}sort(num.begin(), num.end());for (int x : num)res += x * 131 ^ 133331;return res;
}int solve(int idx)
{// 初始化for (int i = 0; i < MAX; i++){e[i].clear();maxn[i] = 0;}int fa;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> fa;if (fa != 0){e[i].push_back(fa);e[fa].push_back(i);}}// 找到树的所有重心dfs(1, 0);int tmp = INT_MAX;for (int i = 1; i <= n; i++){tmp = min(tmp, maxn[i]);}for (int i = 1; i <= n; i++){if (tmp == maxn[i])centre[idx].push_back({i, Hash(i, 0)}); // 存储第i个树对应的哈希值}for (pair<int, int> u : centre[idx]){// 遍历先前的树，寻找与其同构的树的最小编号for (int j = 1; j < idx; j++){for (pair<int, int> v : centre[j]){if (u.second == v.second) // 在有根树的条件下，哈希值相同的树是同构的(如果不发生哈希冲突)return j;}}}// 一定与自身同构return idx;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);int m;cin >> m;for (int i = 1; i <= m; i++)cout << solve(i) << '\n';return 0;
}

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